最適化・線形計画法の問題

方針 $D_t$ は凸集合で内部をもつので、「$f$ が $D_t$ 上で凸」であることは「$D_t$ のすべての点でヘッセ行列 ${\nabla }^{2}f$ が半正定値」であることと同値です。2 次の対称行列 $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& r\end{array}\right)$ が半正定値であるための条件は、主小行列式がすべて 0 以上、すなわち $p\ge 0,r\ge 0,pr-q^2\ge 0$ です。

手順 1: ヘッセ行列を求める 偏導関数は
$$f_x=3x^2-3y,f_y=3y^2-3x$$
なので、2 階偏導関数は
$$f_{xx}=6x,f_{xy}=f_{yx}=-3,f_{yy}=6y.$$
よって
$${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6x& -3\\ -3& 6y\end{array}\right).$$

手順 2: 主小行列式を調べる 半正定値である条件は
$$6x\ge 0,6y\ge 0,\det {\nabla }^{2}f=36xy-9\ge 0.$$
$D_t$ 上では $x\ge t>0,y\ge t>0$ なので、はじめの 2 つは常に成り立ちます。残る条件は
$$36xy-9\ge 0⟺xy\ge \frac{1}{4}.$$

手順 3: $D_t$ 全体で成り立つ条件 $D_t$ 上で $xy$ が最小になるのは、$x,y$ がともに最小の点 $(t,t)$ で、そのときの値は $t^2$ です。したがって $D_t$ のすべての点で $xy\ge \frac{1}{4}$ となる条件は
$$t^2\ge \frac{1}{4}.$$
$t>0$ より $t\ge \frac{1}{2}$ です。

よって、$f$ が $D_t$ 上で凸となる $t$ の最小値は $\frac{1}{2}$ です。

$f$ は $C^2$ 級で、ヘッセ行列は $H=\left(\begin{array}{cc}6x& -3\\ -3& 6y\end{array}\right)$ である。$D_t$ は凸集合なので、$D_t$ 上で凸であるための必要十分条件は、$D_t$ 内部の各点で $H$ が半正定値であること（連続性より境界でも成り立つ）。

$t>0$ より $D_t$ 上では $x,y>0$ なので $6x>0$, $6y>0$。したがって半正定値であることは $\det H=36xy-9\ge 0$、すなわち $xy\ge 1/4$ と同値である。

$D_t$ 上で $xy$ の最小値は、$x,y$ がともに最小となる点 $(t,t)$ での値 $t^2$ である。よって条件は $t^2\ge 1/4$、すなわち $t\ge 1/2$。

$t<1/2$ のとき、角 $(t,t)$ の近くの内部の点で $xy<1/4$ となるので $\det H<0$ となり、凸でない。$t=1/2$ のときは $D_t$ 上で $\det H\ge 0$ かつ $6x>0$ なので凸である。

よって最小値は $t=1/2$。