線形代数の問題

方針 点を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ で表し、$f$, $g$ をそれぞれ行列で表す。線形変換を表す行列は、基本ベクトル ${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, ${\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ の像を列として並べると得られる（列ベクトルに左から掛ける）。$f$ を表す行列を $A$、$g$ を表す行列を $B$ とすると、$f$ を先に行う合成変換 $g\circ f$ は積 $BA$ で表される。

1. $f$ の行列 $A$ 直線 $y=x$ の向きの単位ベクトルは $\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ である。ベクトル $\mathbf{p}$ の正射影は $(\mathbf{p}\cdot \mathbf{u})\mathbf{u}$ なので、
$$f({\mathbf{e}}_1)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right),f({\mathbf{e}}_2)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
となる。これらを列に並べて
$$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
を得る。

2. $g$ の行列 $B$ 角 $\theta$ の回転を表す行列は $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ である。$\theta =\frac{\pi }{2}$ では $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$ なので
$$B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
となる。

3. 合成 $g\circ f$ の行列 $f$ を先に行うので、$A$ を右、$B$ を左に置いた積 $BA$ を計算する。
$$BA=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

4. 点 $(4,2)$ の像
$$BA\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 2\\ \frac{1}{2}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\end{array}\right)$$

確認 $(4,2)$ を直線 $y=x$ に正射影すると $\left(\frac{4+2}{2},\frac{4+2}{2}\right)=(3,3)$ になり、これを反時計回りに $\frac{\pi }{2}$ 回転すると $(x,y)\mapsto (-y,x)$ により $(-3,3)$ になる。行列で求めた結果と一致する。

よって求める像の座標は $(-3,3)$ である。

$f$ は直線 $y=x$ への正射影なので、$f(x,y)=\left(\frac{x+y}{2},\frac{x+y}{2}\right)$ である。これを $(4,2)$ に適用すると $f(4,2)=(3,3)$ となる。

$g$ は反時計回りに $\frac{\pi }{2}$ の回転なので、$g(x,y)=(-y,x)$ である。よって $g(3,3)=(-3,3)$ となる。

検算：$f$ の行列は $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$、$g$ の行列は $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ である。合成 $g\circ f$ の行列は $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ で、これを $(4,2{)}^T$ に作用させると $\frac{1}{2}(-6,6)=(-3,3)$ となり、一致する。

また、$(4,2)$ から $(3,3)$ への差 $(-1,1)$ は直線 $y=x$ の方向 $(1,1)$ と直交しており、垂線の足であることも確認できる。