線形代数の問題

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：直線 $y=x$ への正射影（点 $\mathrm{P}$ を、$\mathrm{P}$ から直線 $y=x$ に下ろした垂線の足へ移す変換）
• $g$：原点を中心とする角 $\frac{\pi }{2}$ の回転（反時計回り）

まず $f$ を行い、続けて $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ による点 $(4,2)$ の像の座標を求めよ。答えは座標 $(x,y)$ の形で書け。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：点を直線 $y=x$ に下ろした垂線の足に移す変換（直線 $y=x$ への正射影）
• $g$：原点を中心として、正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{2}$ だけ回転する変換

点 $\mathrm{P}(3,1)$ に $f$ を行い、続けて $g$ を行って得られる点の座標を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：直線 $y=x$ に関する対称移動
• $g$：原点を中心として正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{6}$ だけ回転する変換

まず $f$ を行い、続けて $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ によって、点 $(2,4)$ が移る点の座標を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$ を「原点のまわりに正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{2}$ だけ回転する変換」とし、線形変換 $g$ を「$x$ 座標を $2$ 倍、$y$ 座標を $3$ 倍する変換」とする。$f$ を行ったあとに $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ を行列の積で表し、点 $(1,2)$ の $g\circ f$ による像の座標を求めよ。

$E$ を 2 次単位行列とし、
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$$
とする。ケーリー・ハミルトンの定理を用いて、
$$A^4=pA+qE$$
を満たす実数 $p,q$ を求めよ。答えは組 $(p,q)$ の形で答えよ。