線形代数の問題

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：直線 $y=x$ に関する対称移動
• $g$：原点を中心として正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{6}$ だけ回転する変換

まず $f$ を行い、続けて $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ によって、点 $(2,4)$ が移る点の座標を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：点を直線 $y=x$ に下ろした垂線の足に移す変換（直線 $y=x$ への正射影）
• $g$：原点を中心として、正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{2}$ だけ回転する変換

点 $\mathrm{P}(3,1)$ に $f$ を行い、続けて $g$ を行って得られる点の座標を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：原点を中心とする角 $\frac{\pi }{3}$ の回転（反時計回り）
• $g$：点 $(x,y)$ を点 $(3x,y)$ に移す変換（$x$ 軸方向に $3$ 倍する拡大）

合成変換 $g\circ f$（まず $f$、次に $g$ を行う変換）を表す行列を求め、それを用いて点 $(4,2)$ の $g\circ f$ による像の座標を求めよ。答えは座標の組 $(X,Y)$ の形で答えよ。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：直線 $y=x$ への正射影（点 $\mathrm{P}$ を、$\mathrm{P}$ から直線 $y=x$ に下ろした垂線の足へ移す変換）
• $g$：原点を中心とする角 $\frac{\pi }{2}$ の回転（反時計回り）

まず $f$ を行い、続けて $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ による点 $(4,2)$ の像の座標を求めよ。答えは座標 $(x,y)$ の形で書け。

${\mathbb{R}}^2$ の線形変換 $f$ は、標準基底に関する表現行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$
であるとする。${\mathbf{u}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ とし、基底 $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。$B$ の $(1,2)$ 成分を求めよ。