数理モデルの問題

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。

ある動物の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 2\\ \frac{1}{3}& 0\end{array}\right),\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}50\\ 25\end{array}\right)$$
に従って変化するとする。$L$ の固有値は $1$ と $-\frac{2}{3}$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、$\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。ただし個体数は実数値をとるものとして扱ってよい。

ある生物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とする。個体数は
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\\ x_3(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{3}{4}& 0\end{array}\right)$$
に従って推移するものとする（2 歳の個体は繁殖後に死亡する）。初期値を $x_1(0)=100$, $x_2(0)=0$, $x_3(0)=0$ とするとき、全個体数に占める第 1 階級の個体数の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}$$
を求めよ。

ある野生動物の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 3\\ s& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする。ここで $s$ は 0 歳個体が 1 年後に生き残る割合で、$0<s\leqq 1$ を満たす定数である。

$L$ の固有値のうち絶対値が最大のもの（優固有値）は正の実数で、長期的には個体群全体が 1 年ごとにこの優固有値の倍率で増加する。この倍率がちょうど $\frac{3}{2}$ となるような $s$ の値を求めよ。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 2\\ \frac{1}{4}& 0\end{array}\right)$$
が成り立つとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}30\\ 60\end{array}\right)$ である。$L$ の絶対値最大の固有値が ${\lambda }_1=1$ であることを確かめたうえで、${\lambda }_1$ に対する左固有ベクトル（繁殖価）を用いて、総個体数 $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ の極限 $\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。