数理モデルの問題

ある多年草の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 1 年目の個体、第 2 階級: 2 年目の個体）に分ける。2 年目の個体は、その年の終わりにすべて枯れるものとする。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、その推移が
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 3\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（1 年目の個体は 1 個体あたり平均 $\frac{1}{2}$ 個体、2 年目の個体は 1 個体あたり平均 $3$ 個体の新しい個体を残し、1 年目の個体が翌年まで生き残る割合は $\frac{1}{2}$ である）。$x_1(0)=10$, $x_2(0)=10$ のとき、全個体数に占める 1 年目の個体の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)}$$
を求めよ。

ある多年生植物の雌株の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とする。この個体群は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
に従って推移するものとし、初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 100\end{array}\right)$ とする。このとき、全個体数に占める第 3 階級の個体数の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_3(t)}{x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)}$$
を求めよ。

ある昆虫の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 幼齢個体、第 2 階級: 成熟個体）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、その推移が
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 3\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（第 1 階級・第 2 階級の個体は 1 年あたり平均してそれぞれ $\frac{1}{2}$ 個体・$3$ 個体の雌を産み、第 1 階級の個体の $\frac{1}{2}$ が翌年に第 2 階級へ進み、第 2 階級の個体は翌年までにすべて死亡する）。

初期値を $x_1(0)=20$, $x_2(0)=0$ とするとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_2(t)}$$
の値を求めよ。

ある動物の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とし、
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& 2\\ \frac{1}{3}& 0\end{array}\right),\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}50\\ 25\end{array}\right)$$
に従って変化するとする。$L$ の固有値は $1$ と $-\frac{2}{3}$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、$\underset{t\to \infty }{\lim }N(t)$ を求めよ。ただし個体数は実数値をとるものとして扱ってよい。

ある鳥の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を並べたベクトルを $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ x_3(t)\end{array}\right)$ とし、その推移が
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（個体数は実数値をとってよいものとする）。初期値が $x_1(0)=100$, $x_2(0)=40$, $x_3(0)=20$ のとき、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }(x_1(t)+x_2(t)+x_3(t))$$
を求めよ。