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数理モデルの問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数理モデル

ある魚の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$ （ $t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数をそれぞれ $x_{1} (t)$ , $x_{2} (t)$ , $x_{3} (t)$ とする。この魚について、次のことがわかっている。
- 1 年間に、1 歳の雌 1 匹は平均 $4$ 匹、2 歳の雌 1 匹は平均 $16$ 匹の雌の 0 歳個体を残す。0 歳の個体は子を残さない。
- 漁獲がなければ、0 歳の個体が 1 年後に生き残って 1 歳になる割合は $\frac{1}{2}$ 、1 歳の個体が 1 年後に 2 歳になる割合は $\frac{1}{2}$ である。2 歳の個体は 1 年後には残らない。

ここで、毎年 0 歳の個体だけを対象に漁獲を行い、0 歳の個体が 1 歳になるまでに、漁獲がない場合に生き残るはずだった個体のうち割合 $h$ （ $0 \leq h < 1$ ）が取り除かれるとする。このとき、 $x (t) =^{t} (x_{1} (t), x_{2} (t), x_{3} (t))$ は
$x (t + 1) = L_{h} x (t), L_{h} = 0 \frac{1 - h}{2} 0 40 \frac{1}{2} 1600$
にしたがって推移する。 $L_{h}$ の正の実数の固有値（ただ 1 つ存在する）がちょうど $1$ となり、個体群が長期的に増えも減りもしなくなるような $h$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

行列式（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）
レスリー行列による人口の推移（説明と入口の問題）
レスリー行列の優越固有値と安定年齢分布（説明と入口の問題）
捕獲を含む個体群モデルと最大持続収穫量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（66 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

個体群が長期的に増えも減りもしないのは、 $L_{h}$ の正の固有値が $1$ のときです。固有方程式 $det (λ E - L_{h}) = 0$ を作りましょう。

ヒント 2

$a = \frac{1 - h}{2}$ とおいて第 1 行で展開すると、固有方程式は $λ^{3} - 4 aλ - 8 a = 0$ になります。

ヒント 3

$λ = 1$ を代入すると $1 - 12 a = 0$ です。ここから $1 - h$ の値を求めます。

答えと解説

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\frac{5}{6}

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解説を読む

$a = \frac{1 - h}{2}$ とおく。 $L_{h}$ の固有多項式は、第 1 行で展開して
$det (λ E - L_{h}) = λ - a 0 - 4 λ - \frac{1}{2} - 16 0 λ = λ \cdot λ^{2} - (- 4) \cdot (- aλ) + (- 16) \cdot ((- a) \cdot (- \frac{1}{2})) = λ^{3} - 4 aλ - 8 a .$
$a = \frac{1 - h}{2}$ を代入すると
$λ^{3} - 2 (1 - h) λ - 4 (1 - h) = 0.$
$0 \leq h < 1$ のとき係数の符号は $+, -, -$ で 1 回だけ変わるので、デカルトの符号法則により正の実数解はただ 1 つである。これが $λ = 1$ となる条件は
$1 - 2 (1 - h) - 4 (1 - h) = 1 - 6 (1 - h) = 0 ⟺ 1 - h = \frac{1}{6} ⟺ h = \frac{5}{6} .$
$0 \leq h < 1$ をみたす。

確認. $h = \frac{5}{6}$ のとき固有方程式は $λ^{3} - \frac{1}{3} λ - \frac{2}{3} = 0$ 、すなわち $3 λ^{3} - λ - 2 = (λ - 1) (3 λ^{2} + 3 λ + 2) = 0$ 。残りの 2 解は $λ = \frac{- 3 \pm 15 i}{6}$ で、絶対値は $\frac{9 + 15}{36} = \frac{2}{3} < 1$ 。よって $λ = 1$ が絶対値最大の固有値であり、長期的に個体数は一定の値に近づく（増えも減りもしない）。

また、1 匹の 0 歳個体が一生に残す雌の子の平均数（純繁殖率）は $a \cdot 4 + a \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 = 12 a$ で、これが $1$ となる $a = \frac{1}{12}$ からも同じ $h = \frac{5}{6}$ が得られる。

答え: $h = \frac{5}{6}$

別解

$a = \frac{1 - h}{2}$ とおく。固有値 $λ$ の固有ベクトル $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ は $λ x_{1} = 4 x_{2} + 16 x_{3}$ 、 $λ x_{2} = a x_{1}$ 、 $λ x_{3} = \frac{1}{2} x_{2}$ を満たす。 $λ = 1$ のとき $x_{2} = a x_{1}$ 、 $x_{3} = \frac{1}{2} x_{2} = \frac{a}{2} x_{1}$ で、第 1 式に代入すると
$x_{1} = 4 a x_{1} + 16 \cdot \frac{a}{2} x_{1} = 12 a x_{1} .$
$x_{1} \neq = 0$ （ $x_{1} = 0$ なら $x_{2} = x_{3} = 0$ となり固有ベクトルにならない）なので $12 a = 1$ 、 $a = \frac{1}{12}$ 。 $\frac{1 - h}{2} = \frac{1}{12}$ より $1 - h = \frac{1}{6}$ 、 $h = \frac{5}{6}$ 。これは $0 \leq h < 1$ を満たす。
検算: 特性多項式は $det (λ I - L_{h}) = λ^{3} - 4 aλ - 8 a$ 。 $a = \frac{1}{12}$ , $λ = 1$ で $1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 0$ 。また $a = 1/12$ のとき $λ^{3} - \frac{λ}{3} - \frac{2}{3} = (λ - 1) (λ^{2} + λ + \frac{2}{3})$ で、後者の判別式は $1 - \frac{8}{3} < 0$ なので他の固有値は虚数。 $1$ が唯一の正の実固有値である。

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