数理モデルの問題

両端を固定した弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{S}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{L}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は値のわからない無次元の正の定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

張力を $3$ 倍、線密度を $\frac{1}{3}$ 倍、長さを $2$ 倍にした弦の基本振動数を $f^{\prime }$ とする。比 $\frac{f^{\prime }}{f}$ を求めよ。

両端を固定してぴんと張った弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まるとし、
$$f=C{S}^a{\mu }^b{L}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

風車が風から取り出せる仕事率 $P$（単位 $\mathrm{W}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$）は、空気の密度 $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、風の速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）、羽根の直径 $D$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$P=C{\rho }^a{v}^b{D}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

無重力の宇宙船内で、半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）の球形の液滴が表面張力によって小さく振動している。液体の密度を $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、表面張力を $\sigma$（単位 $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{-1}=\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$）とする。振動の周期 $T$（単位 $\mathrm{s}$）は $\rho ,r,\sigma$ だけで決まるとすると、次元解析により
$$T=C{\rho }^{\frac{1}{2}}{r}^{\frac{3}{2}}{\sigma }^{-\frac{1}{2}}$$
が得られる。ここで $C$ は値のわからない正の無次元定数である。

密度は同じで、半径が $4$ 倍、表面張力が $\frac{1}{2}$ 倍の液滴にしたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

空気中を速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）で運動する半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）の球が、空気から抵抗力 $F$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）を受けている。空気の密度を $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）とする。速さが十分大きく、空気の粘性の影響は無視できるので、$F$ は $\rho ,v,r$ だけで決まり、
$$F=C{\rho }^a{v}^b{r}^c$$
と表せるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。