数理モデルの問題

空気中を速さ $v$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）で運動する半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）の球が、空気から抵抗力 $F$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）を受けている。空気の密度を $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）とする。速さが十分大きく、空気の粘性の影響は無視できるので、$F$ は $\rho ,v,r$ だけで決まり、
$$F=C{\rho }^a{v}^b{r}^c$$
と表せるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

両端を固定してぴんと張った弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まるとし、
$$f=C{S}^a{\mu }^b{L}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は次元をもたない定数、$a,b,c$ は実数の定数である。両辺の次元が一致するという条件から、指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

重力の影響を無視できる小さな液滴が、表面張力によって振動している。振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、液体の表面張力 $\sigma$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{s}}^{-2}$）、液体の密度 $\rho$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$）、液滴の半径 $r$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{\sigma }^a{\rho }^b{r}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a,b,c$ は実数の定数）と表されるとする。両辺の次元（質量・長さ・時間）が一致するという条件から、組 $(a,b,c)$ を求めよ。

両端を固定して張った弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $F$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{F}^a{\mu }^b{L}^c$$
と表されるとする。ここで $C$ は値のわからない無次元の正の定数、$a,b,c$ は実数の定数である。

いま、張力を $4$ 倍、線密度を $9$ 倍、長さを $\frac{1}{2}$ 倍にした弦の基本振動数を $f^{\prime }$ とする。$C$ はもとの弦と同じ値であるとして、比 $\frac{f^{\prime }}{f}$ を求めよ。

両端を固定した弦の基本振動数 $f$（単位 ${\mathrm{s}}^{-1}$）は、弦の張力 $S$（単位 $\mathrm{N}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$）、弦の線密度 $\mu$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$）、弦の長さ $L$（単位 $\mathrm{m}$）だけで決まり、
$$f=C{S}^{\alpha }{\mu }^{\beta }{L}^{\gamma }$$
と表されるとする。ここで $C$ は値のわからない無次元の正の定数、$\alpha ,\beta ,\gamma$ は実数の定数である。

張力を $3$ 倍、線密度を $\frac{1}{3}$ 倍、長さを $2$ 倍にした弦の基本振動数を $f^{\prime }$ とする。比 $\frac{f^{\prime }}{f}$ を求めよ。