数理モデルの問題

平面上に広がる物質の面密度 $u(x,y,t)$（単位 $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}$）が、非線形拡散方程式
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa \left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\left(u^3\right)$$
に従うとする。ここで $x$, $y$ は位置（単位 $\mathrm{m}$）、$t>0$ は時刻（単位 $\mathrm{s}$）、$\kappa$ は正の定数である。時刻 $0$ に原点に質量 $M$（単位 $\mathrm{kg}$）の物質を一点に集中させて置き、その後の全質量 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}udxdy$ は $M$ のまま保存されるとする。このとき物質が存在する領域は原点を中心とする円板になり、その半径 $R(t)$ は $M$, $\kappa$, $t$ だけで決まって
$$R(t)=C{M}^a{\kappa }^b{t}^c$$
（$C$ は次元をもたない正の定数、$a$, $b$, $c$ は実数の定数）の形に書けるとする。指数の組 $(a,b,c)$ を求めよ。

点状の爆発によって、エネルギー $E$（単位 $\mathrm{J}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}$）が時刻 $t=0$ に一瞬で放出され、球対称な強い衝撃波が周囲の気体中を広がっていく。周囲の気体の密度は爆心からの距離 $r$ によって
$$\rho (r)=A{r}^{-\omega }$$
と表される。ここで $A>0$, $\omega$ は定数で $0\le \omega <3$ とし、$A$ の単位は $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{\omega -3}$ である。

次のことを仮定する。
- 時刻 $t>0$ における衝撃波の半径 $R$（単位 $\mathrm{m}$）は、$E$, $A$, $t$ と気体の比熱比 $\gamma$（無次元）だけで決まる（周囲の気体の圧力は無視できる）。
- 衝撃波の速さ $U=\frac{dR}{dt}$（単位 $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$）は、$E$, $A$, $R$ と $\gamma$ だけで決まる。

ある気体中での観測から、衝撃波の半径が $R\propto t^{4/7}$ にしたがって大きくなることがわかった。このとき、この気体について
$$U=C{E}^p{A}^q{R}^s(C\text{は}\gamma \text{だけで決まる無次元の定数})$$
と表される。指数の組 $(p,q,s)$ をこの順に求めよ。

水平な床の上の 1 点から粘性の大きい液体を注入し、液体が軸対称に広がっていく様子を考える。注入点からの水平距離を $r$（単位 $\mathrm{m}$）、時刻を $t>0$（単位 $\mathrm{s}$）、液体層の厚さを $h(r,t)$（単位 $\mathrm{m}$）とする。潤滑近似のもとで、$h$ は次の方程式に従うとする。
$$\frac{\partial h}{\partial t}=\frac{\kappa }{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{h}^3\frac{\partial h}{\partial r}\right)(0<r<R(t))$$
ここで $\kappa =\frac{\rho g}{3\mu }$ は正の定数（単位 ${\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$）である。$R(t)$ は液体の先端の位置で、$h(R(t),t)=0$ とし、$r>R(t)$ では $h=0$ とする。注入流量は時間に比例して増加し、時刻 $t$ までに注入された液体の体積は
$$2\pi {\int }_0^{R(t)}rh(r,t)dr=A{t}^2$$
である（$A$ は正の定数、単位 ${\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$）。

この問題が、相似解 $h(r,t)=H(t)f\left(\frac{r}{R(t)}\right)$ をもつとする。ここで $H(t)$, $R(t)$ は $t>0$ で微分可能な正の関数であり、$f$ は $t$ によらない関数で、$[0,1]$ で連続かつ $(0,1)$ で 2 回微分可能とする。このとき先端の位置が
$$R(t)=C{\kappa }^a{A}^b{t}^c$$
（$C$ は $\kappa$, $A$, $t$ によらない正の無次元定数、$a,b,c$ は実数）と表されるとして、組 $(a,b,c)$ を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団で、潜伏期間のある感染症の流行を、人口全体に対する割合で表した SEIR モデル
$$\frac{ds}{dt}=-\beta si,\frac{de}{dt}=\beta si-\sigma e,\frac{di}{dt}=\sigma e-\gamma i,\frac{dr}{dt}=\gamma i$$
で考える。ここで $s,e,i,r$ はそれぞれ感受性者・潜伏期の人・感染性のある人・回復者（免疫をもち再感染しない）の割合、$t\geqq 0$ は時刻、$\beta ,\sigma ,\gamma$ は正の定数であり、このモデルの基本再生産数は $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ である。

ある流行では、初期値が $s(0)=1-\epsilon ,e(0)=0,i(0)=\epsilon ,r(0)=0$（$\epsilon$ は小さな正の数）であり、$\epsilon \to +0$ の極限で、最後まで一度も感染しなかった人の割合 $s_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }s(t)$ が $\frac{1}{4}$ であった。ただし、$t\to \infty$ で $e(t)\to 0$, $i(t)\to 0$ となることは認めてよい。

次の流行に備えて、流行の始まる前に人口の割合 $p$（$0\leqq p\leqq 1$）にワクチンを接種して免疫をもたせる（接種した人は初めから回復者に含まれる）。$\beta ,\sigma ,\gamma$ は上の流行と同じであるとし、実効再生産数 $R_0(1-p)$ が $1$ 以下になる最小の $p$ を求めよ。

アリー効果をもつ生物の個体数 $x(t)(\geqq 0)$ に、捕獲努力 $h$ に比例する捕獲を加えたモデル
$$\frac{dx}{dt}=4x(x-3)(8-x)-hx$$
を考える。ここで $h$ は $0<h<25$ を満たす定数である。

このとき、$x>0$ の範囲にある平衡点のうち漸近安定なものはただ 1 つ存在する。それを $x^{\ast }(h)$ とし、その平衡点での単位時間あたりの捕獲量を $Y(h)=h{x}^{\ast }(h)$ とする。$0<h<25$ における $Y(h)$ の最大値を求めよ。