数理モデルの問題

質量 $m$（単位 $\mathrm{kg}$）の小物体が、直線上で原点からの変位 $x$（単位 $\mathrm{m}$）に対して復元力 $-k{x}^3$ を受けて運動する。ここで $k$ は正の定数で、運動方程式は
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k{x}^3$$
である（$t$ は時刻、単位 $\mathrm{s}$）。小物体を $x=A$（$A>0$）で静かに放すと周期運動をし、その周期 $T$ は $m$, $k$, $A$ だけで決まり、正の無次元定数 $C$ を用いて
$$T=C{m}^{\alpha }{k}^{\beta }{A}^{\gamma }$$
と表されるものとする。

$k$ は変えずに、質量を $4m$、放す位置を $x=3A$ に変えたときの周期を $T^{\prime }$ とする。比 $\frac{T^{\prime }}{T}$ を求めよ。

ある魚の雌の個体群を、年齢により 3 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳、第 3 階級: 2 歳）に分け、時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数をそれぞれ $x_1(t)$, $x_2(t)$, $x_3(t)$ とする。この魚について、次のことがわかっている。
- 1 年間に、1 歳の雌 1 匹は平均 $4$ 匹、2 歳の雌 1 匹は平均 $16$ 匹の雌の 0 歳個体を残す。0 歳の個体は子を残さない。
- 漁獲がなければ、0 歳の個体が 1 年後に生き残って 1 歳になる割合は $\frac{1}{2}$、1 歳の個体が 1 年後に 2 歳になる割合は $\frac{1}{2}$ である。2 歳の個体は 1 年後には残らない。

ここで、毎年 0 歳の個体だけを対象に漁獲を行い、0 歳の個体が 1 歳になるまでに、漁獲がない場合に生き残るはずだった個体のうち割合 $h$（$0\le h<1$）が取り除かれるとする。このとき、$\mathbf{x}(t)={}^t(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$ は
$$\mathbf{x}(t+1)=L_h\mathbf{x}(t),L_h=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 16\\ \frac{1-h}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
にしたがって推移する。$L_h$ の正の実数の固有値（ただ 1 つ存在する）がちょうど $1$ となり、個体群が長期的に増えも減りもしなくなるような $h$ の値を求めよ。

被食者の個体数密度 $x(t)$ と捕食者の個体数密度 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(a-by),\frac{dy}{dt}=y(cx-d)$$
にしたがうとする。ここで $a,b,c,d$ は正の定数であるが、その値はわかっていない。

ある観測で、解 $(x(t),y(t))$ はつねに $x(t)>0,y(t)>0$ を満たし、定数でない周期 $T(>0)$ の周期解であった。また、1 周期の間に $x(t)$ がとる最小値は $2$、最大値は $8$ であった。

このとき、被食者の個体数密度の 1 周期にわたる時間平均
$$\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$
を求めよ。

被食者の個体数 $x(t)$ と捕食者の個体数 $y(t)$（$t$ は実数の時刻）が、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$\frac{dx}{dt}=x(2-y),\frac{dy}{dt}=y(x-1)$$
に従うとする。初期値は $x(0)>0$, $y(0)>0$ であり、$(x(0),y(0))$ は平衡点ではないとする。このとき解の軌道は第 $1$ 象限内の閉曲線になり、$y(t)$ は周期的に変動して最大値 $Y_{\max }$ と最小値 $Y_{\min }$ をとる。

$Y_{\max }=2Y_{\min }$ となるような軌道について、$Y_{\min }$ の値を求めよ。

出生・死亡・移動のない閉じた集団を、人口の割合がともに $\frac{1}{2}$ である 2 つのグループ（グループ 1, グループ 2）に分ける。時刻 $t\geqq 0$ におけるグループ $j$ $(j=1,2)$ の感受性者・感染者・回復者の、人口全体に対する割合をそれぞれ $s_j(t)$, $i_j(t)$, $r_j(t)$ とする。これらは次の 2 グループ SIR モデルに従うとする。
$$\frac{d{s}_j}{dt}=-\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2),\frac{d{i}_j}{dt}=\beta c_j{s}_j(c_1{i}_1+c_2{i}_2)-\gamma i_j,\frac{d{r}_j}{dt}=\gamma i_j(j=1,2)$$
ここで $c_1=1$, $c_2=2$ は各グループの接触の活発さを表す定数であり、$\beta >0$, $\gamma >0$ は値の分からない定数である。初期条件は $s_j(0)+i_j(0)=\frac{1}{2}$, $r_j(0)=0$, $i_j(0)>0$ $(j=1,2)$ とし、初期の感染者の割合は無視できるほど小さいとして、$i_1(0),i_2(0)\to +0$ の極限で考える（すなわち、最終規模の関係式においては $s_j(0)=\frac{1}{2}$ とする）。また $t\to \infty$ で $i_j(t)\to 0$ となり、$s_j(t)$ は正の値 $s_j(\infty )$ に収束するものとする。

流行が終わった後の調査で、グループ 1 の人々のうちちょうど半数が一度も感染しなかったこと、すなわち $s_1(\infty )=\frac{1}{4}$ であることが分かった。このとき、感染のない平衡状態 $(s_1,s_2,i_1,i_2)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0\right)$ における次世代行列のスペクトル半径として定義される基本再生産数 $R_0$ を求めよ。