数理モデルの問題

ある小動物の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の雌の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とおく。

この個体群について、次のことがわかっている。
- 第 1 階級の雌 1 匹は 1 年の間に平均 $1$ 匹、第 2 階級の雌 1 匹は平均 $3$ 匹の雌の子を産み、これらの子は次の年に第 1 階級として数えられる。
- 第 1 階級の雌のうち $\frac{1}{2}$ が生き残り、次の年に第 2 階級になる。
- 第 2 階級の雌は次の年までにすべて死ぬ。

このとき $\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t)$ を満たすレスリー行列 $L$ を作り、$x_1(0)=40$, $x_2(0)=20$ のときの 2 年後の雌の総個体数 $x_1(2)+x_2(2)$ を求めよ。

ある小型哺乳類の雌の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数をそれぞれ $x_1(t)$, $x_2(t)$ とする。この個体群は次の規則にしたがって推移する。

• 時刻 $t$ の第 1 階級の各個体は平均 $1$ 個体、第 2 階級の各個体は平均 $4$ 個体の雌を産み、それらが時刻 $t+1$ の第 1 階級になる。
• 時刻 $t$ の第 1 階級の個体のうち $\frac{1}{2}$ が生き残り、時刻 $t+1$ の第 2 階級になる。
• 時刻 $t$ の第 2 階級の個体は、時刻 $t+1$ までにすべて死ぬ。

$x_1(0)=20$, $x_2(0)=10$ のとき、時刻 $t=2$ における総個体数 $x_1(2)+x_2(2)$ を求めよ。

ある魚の雌の個体群を年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 0 歳、第 2 階級: 1 歳）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ とする。これはレスリー行列
$$L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{3}{2}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
を用いて $\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t)$ に従って変化するものとする。初期値は $\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}10\\ 40\end{array}\right)$ である。総個体数を $N(t)=x_1(t)+x_2(t)$ とするとき、${\lim }_{t\to \infty }N(t)$ を求めよ。ただし、個体数は実数として扱ってよい。

ある多年草の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 発芽して 1 年目の株、第 2 階級: 2 年目の株）に分ける。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の株数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right)$ は
$$\mathbf{x}(t+1)=L\mathbf{x}(t),L=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
にしたがって推移するとする（1 年目の株は 1 株あたり平均 1 株、2 年目の株は 1 株あたり平均 4 株の新しい株を残し、1 年目の株の $\frac{1}{2}$ が 2 年目まで生き残り、2 年目の株はその年のうちに枯れる）。$\mathbf{x}(0)=\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)$ のとき、全体の株数に占める 2 年目の株の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_2(t)}{x_1(t)+x_2(t)}$$
を求めよ。

ある多年草の個体群を、年齢により 2 つの階級（第 1 階級: 1 年目の個体、第 2 階級: 2 年目の個体）に分ける。2 年目の個体は、その年の終わりにすべて枯れるものとする。時刻 $t$（$t$ は 0 以上の整数、単位は年）における各階級の個体数を $x_1(t)$, $x_2(t)$ とし、その推移が
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1(t+1)\\ x_2(t+1)\end{array}\right)=L\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\end{array}\right),L=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 3\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$
で表されるとする（1 年目の個体は 1 個体あたり平均 $\frac{1}{2}$ 個体、2 年目の個体は 1 個体あたり平均 $3$ 個体の新しい個体を残し、1 年目の個体が翌年まで生き残る割合は $\frac{1}{2}$ である）。$x_1(0)=10$, $x_2(0)=10$ のとき、全個体数に占める 1 年目の個体の割合の極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{x_1(t)}{x_1(t)+x_2(t)}$$
を求めよ。