フーリエ解析・ラプラス変換の問題

方針. $c>0$ に対して $f_c(x)=e^{-c|x|}$ とおき、そのフーリエ変換を計算したうえで、$f_a$ と $f_b$ にパーセバルの等式を適用する。

Step 1: $f_c\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ であること. $f_c$ は連続な偶関数で正の値をとり、
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-c|x|}dx=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-cx}dx=2{\left[-\frac{e^{-cx}}{c}\right]}_0^{\infty }=\frac{2}{c}<\infty ,$$
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(e^{-c|x|}\right)}^{2}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2c|x|}dx=\frac{2}{2c}=\frac{1}{c}<\infty$$
である。よって $f_c\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ であり、とくに $f_a,f_b$ にパーセバルの等式が使える。

Step 2: $\widehat{f_c}$ の計算. $\xi \in \mathbb{R}$ を固定する。積分区間を $x<0$ と $x\ge 0$ に分けると
$$\widehat{f_c}(\xi )={\int }_{-\infty }^0{e}^{(c-i\xi )x}dx+{\int }_0^{\infty }{e}^{-(c+i\xi )x}dx.$$
$|e^{(c-i\xi )x}|=e^{cx}\to 0(x\to -\infty )$、$|e^{-(c+i\xi )x}|=e^{-cx}\to 0(x\to \infty )$ であり、$c\pm i\xi \ne 0$ なので
$${\int }_{-\infty }^0{e}^{(c-i\xi )x}dx={\left[\frac{e^{(c-i\xi )x}}{c-i\xi }\right]}_{-\infty }^0=\frac{1}{c-i\xi },{\int }_0^{\infty }{e}^{-(c+i\xi )x}dx={\left[-\frac{e^{-(c+i\xi )x}}{c+i\xi }\right]}_0^{\infty }=\frac{1}{c+i\xi }.$$
したがって
$$\widehat{f_c}(\xi )=\frac{1}{c-i\xi }+\frac{1}{c+i\xi }=\frac{(c+i\xi )+(c-i\xi )}{c^2+{\xi }^2}=\frac{2c}{c^2+{\xi }^2}.$$
これは実数値である。

Step 3: 左辺（$x$ 側）の計算. $f_b$ は実数値なので $\overline{f_b(x)}=f_b(x)$ であり、
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_a(x)\overline{f_b(x)}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(a+b)|x|}dx=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-(a+b)x}dx=\frac{2}{a+b}.$$

Step 4: 右辺（$\xi$ 側）の計算. Step 2 より $\widehat{f_b}$ は実数値なので $\overline{\widehat{f_b}(\xi )}=\widehat{f_b}(\xi )$ であり、
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\widehat{f_a}(\xi )\overline{\widehat{f_b}(\xi )}d\xi =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{2a}{a^2+{\xi }^2}\cdot \frac{2b}{b^2+{\xi }^2}d\xi =\frac{2ab}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\xi }{({\xi }^2+a^2)({\xi }^2+b^2)}.$$

Step 5: 結論. Step 1 より $f_a,f_b\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ なので、パーセバルの等式により Step 3 と Step 4 の値は等しい:
$$\frac{2}{a+b}=\frac{2ab}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\xi }{({\xi }^2+a^2)({\xi }^2+b^2)}.$$
$ab>0$ なので両辺に $\frac{\pi }{2ab}$ を掛けて
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{d\xi }{({\xi }^2+a^2)({\xi }^2+b^2)}=\frac{\pi }{ab(a+b)}.$$
積分変数の名前を $x$ に戻せば、示すべき等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}=\frac{\pi }{ab(a+b)}$$
が得られる。$■$

（確認: $a=b$ のとき右辺は $\frac{\pi }{2a^3}$ となり、よく知られた ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+a^2{)}^2}=\frac{\pi }{2a^3}$ と一致する。）