積分法の問題

求める値を $K$ とし、$J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{\tan x}dx$ とおく（被積分関数の $x=0$ での値は $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\tan x}=1$ とする）。どちらの被積分関数も $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ で連続である。

1. 部分積分で $K$ を $J$ に直す ${\left(-\frac{1}{\tan x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ なので、$0<\epsilon <\frac{\pi }{2}$ として
$${\int }_{\epsilon }^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2}{{\sin }^{2}x}dx={\left[-\frac{x^2}{\tan x}\right]}_{\epsilon }^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_{\epsilon }^{\frac{\pi }{2}}\frac{2x}{\tan x}dx=\frac{{\epsilon }^2}{\tan \epsilon }+2{\int }_{\epsilon }^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{\tan x}dx$$
（$x=\frac{\pi }{2}$ では $\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}=0$。）$\epsilon \to +0$ とすると $\frac{{\epsilon }^2}{\tan \epsilon }=\epsilon \cdot \frac{\epsilon }{\tan \epsilon }\to 0\cdot 1=0$ で、被積分関数は連続なので
$$K=2J$$

2. 鍵：$2$ 倍角で $J$ を自分自身に結びつける $x=2y$ と置換すると $dx=2dy$、$x:0\to \frac{\pi }{2}$ のとき $y:0\to \frac{\pi }{4}$ なので
$$J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{2y}{\tan 2y}\cdot 2dy=4{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{y}{\tan 2y}dy$$
ここで
$$\frac{1}{\tan 2y}=\frac{\cos 2y}{\sin 2y}=\frac{{\cos }^{2}y-{\sin }^{2}y}{2\sin y\cos y}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\tan y}-\tan y\right)$$
なので
$$J=2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{y}{\tan y}dy-2{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}y\tan ydy(1)$$

$A={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{y}{\tan y}dy$、$B={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{y}{\tan y}dy$ とおくと $J=A+B$ である。

$(1)$ の第 $2$ 項の積分で $y=\frac{\pi }{2}-z$ と置換すると、$dy=-dz$、$y:0\to \frac{\pi }{4}$ のとき $z:\frac{\pi }{2}\to \frac{\pi }{4}$、$\tan \left(\frac{\pi }{2}-z\right)=\frac{1}{\tan z}$ なので
$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}y\tan ydy={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\frac{\pi }{2}-z\right)\frac{1}{\tan z}dz=\frac{\pi }{2}{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos z}{\sin z}dz-B$$
$$=\frac{\pi }{2}[\log \sin z{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}-B=\frac{\pi }{2}\left(0-\log \frac{1}{\sqrt{2}}\right)-B=\frac{\pi }{4}\log 2-B$$
これを $(1)$ に代入して
$$J=2A-2\left(\frac{\pi }{4}\log 2-B\right)=2(A+B)-\frac{\pi }{2}\log 2=2J-\frac{\pi }{2}\log 2$$
よって $$J=\frac{\pi }{2}\log 2$$

3. 結論 $$K=2J=\pi \log 2$$

（確認：$J$ の被積分関数は $x=0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}$ でそれぞれ $1,\frac{\pi }{4},0$ で、シンプソンの公式で近似すると $\frac{\pi }{12}\left(1+\pi +0\right)\fallingdotseq 1.084$、一方 $\frac{\pi }{2}\log 2\fallingdotseq 1.089$ でよく合う。）

$\frac{1}{{\sin }^{2}x}={\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{\prime }$ なので部分積分する。
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2}{{\sin }^{2}x}dx={\left[-x^2\frac{\cos x}{\sin x}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x\cos x}{\sin x}dx.$$
境界項: $x=\frac{\pi }{2}$ では $\cos \frac{\pi }{2}=0$ で $0$。$x\to 0$ では $x^2\frac{\cos x}{\sin x}=x\cdot \frac{x}{\sin x}\cos x\to 0$。よって境界項は $0$。

次に ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\frac{\cos x}{\sin x}dx$ を、$\frac{\cos x}{\sin x}=(\log \sin x{)}^{\prime }$ として部分積分する。
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\frac{\cos x}{\sin x}dx={\left[x\log \sin x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \sin xdx.$$
境界項: $x=\frac{\pi }{2}$ では $\log 1=0$、$x\to 0$ では $x\log \sin x=x\log x+x\log \frac{\sin x}{x}\to 0$。よって境界項は $0$。

$J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \sin xdx$ とおく。$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換により $J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \cos xdx$。したがって
$$2J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \left(\sin x\cos x\right)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \frac{\sin 2x}{2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \sin 2xdx-\frac{\pi }{2}\log 2.$$
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\log \sin 2xdx$ は $t=2x$ とおくと $\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\log \sin tdt=\frac{1}{2}\cdot 2J=J$（$\sin (\pi -t)=\sin t$ より）。よって $2J=J-\frac{\pi }{2}\log 2$ から $J=-\frac{\pi }{2}\log 2$。

ゆえに ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cot xdx=\frac{\pi }{2}\log 2$ で、
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2}{{\sin }^{2}x}dx=2\cdot \frac{\pi }{2}\log 2=\pi \log 2.$$

検算: 被積分関数は $x=0$ で $1$、$x=\frac{\pi }{4}$ で $\frac{{\pi }^2/16}{1/2}=\frac{{\pi }^2}{8}\approx 1.234$、$x=\frac{\pi }{2}$ で $\frac{{\pi }^2}{4}\approx 2.467$。シンプソン則で $\frac{\pi /4}{3}\left(1+4\times 1.234+2.467\right)\approx \frac{0.2618\times 8.403}{1}\approx 2.20$。$\pi \log 2\approx 2.178$ とほぼ一致する。

答え: $\pi \log 2$