内部発熱のある平板の熱伝導

一様発熱 $q_{v}$ のある平板で $k \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + q_{v} = 0$ を境界条件（断熱面・表面温度・対流）のもとで解き、外側の層や接触熱抵抗を熱抵抗として合成して、温度分布と最高温度を求められる

前提

対流熱伝達と熱通過率（大学物理熱工学・伝熱）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

説明

電流が流れる導体板、原子炉の燃料板、反応が進む触媒層のように、物体の内部で一様に熱が発生する平板について、内部の温度分布と最高温度を求められるようになります。熱の収支から得られる式 $k \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + q_{v} = 0$ を 2 回積分し、断熱面・表面温度・対流といった境界条件で積分定数を決めます。発熱層の外側に別の壁や接触面、対流があるときは、それらを熱抵抗として直列に合成して表面温度を決めます。

なぜそうしてよいのか

厚さ方向を $x$ とし、断面積 $A$ 、厚さ $d x$ の薄い部分を考えます。フーリエの法則で熱流束は $q (x) = - k \frac{d T}{d x}$ です。定常状態では、この部分の温度は変わらないので「左面から入る熱 $+$ 内部で発生する熱 $=$ 右面から出る熱」が成り立ち、 $q (x) A + q_{v} A d x = q (x + d x) A$ です。よって $\frac{d q}{d x} = q_{v}$ 、すなわち $- k \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = q_{v}$ となり、 $k \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + q_{v} = 0$ が得られます（ $q_{v}$ は単位体積・単位時間あたりの発熱量 [W/m $^{3}$ ]）。発熱がない平板では $q$ が一定で温度が直線になりましたが、発熱があると外へ進むほど熱流束が $q_{v}$ の割合で増えていくのです。

$k$ と $q_{v}$ が一定なら、2 回積分して $T (x) = - \frac{q _{v}}{2 k} x^{2} + C_{1} x + C_{2}$ （ $C_{1}, C_{2}$ は定数）と、温度分布は上に凸の放物線になります。2 つの定数は 2 つの境界条件で決めます。断熱面では熱流束が 0 なので $\frac{d T}{d x} = 0$ 、表面温度が与えられた面では $T$ の値そのもの、流体に接する面では「表面から出る伝導の熱流束 $=$ 対流で流体に渡す熱流束」、たとえば $x = L$ の面なら $- k \frac{d T}{d x}_{x = L} = h (T (L) - T_{\infty})$ です。最高温度は $\frac{d T}{d x} = 0$ となる位置（断熱面や対称面）に現れます。

発熱層の表面から出ていく熱流束は、熱の収支から「その面までの発熱量」で決まります。たとえば $x = 0$ が断熱で $x = L$ が表面なら、表面の熱流束は $q_{v} L$ です。その外側に発熱しない壁・接触熱抵抗・対流があるときは、熱流束 $q_{v} L$ がそれらを直列に通るので、平板の熱抵抗と同じように $T_{表面} - T_{\infty} = q_{v} L (\sum \frac{L _{i}}{k _{i}} + R_{c} + \frac{1}{h})$ と表面温度が求まります。発熱層そのものは熱流束が場所で変わるので単純な熱抵抗にはならず、内部の温度上昇は放物線の式から求めます。

手順

座標 $x$ を決め、発熱層の範囲と境界の種類（断熱面・表面温度・対流・外側の層）を確認する。対称な板なら中央を $x = 0$ にとると計算が楽になる
$k \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + q_{v} = 0$ を 2 回積分して $T (x) = - \frac{q _{v}}{2 k} x^{2} + C_{1} x + C_{2}$ とする
断熱面（または対称面）の条件 $\frac{d T}{d x} = 0$ から $C_{1}$ を決める
発熱層の表面から出る熱流束（断熱面からその表面までの発熱量 $q_{v} L$ ）を求め、外側の層・接触熱抵抗・対流の熱抵抗を直列に足して表面温度を求める: $T_{表面} = T_{\infty} + q_{v} L (\sum \frac{L _{i}}{k _{i}} + R_{c} + \frac{1}{h})$
表面温度の条件から $C_{2}$ を決め、温度分布を書く。最高温度は $\frac{d T}{d x} = 0$ の位置で、断熱面が $x = 0$ なら $T_{m a x} = T_{表面} + \frac{q _{v} L ^{2}}{2 k}$

例題

厚さ $L = 0.010 m$ 、熱伝導率 $k = 20 W/ (m \cdot K)$ の平板の内部で、単位体積あたり $q_{v} = 1.0 \times 1 0^{6} W/ m^{3}$ の熱が一様に発生している。板の一方の面（ $x = 0$ ）は断熱されており、もう一方の面（ $x = L$ ）は温度 $T_{\infty} = 30^{\circ} C$ の流体に熱伝達率 $h = 500 W/ (m^{2} \cdot K)$ で接している。定常状態での板の最高温度 [ $^{\circ}$ C] を求めよ。ただし $k$ 、 $q_{v}$ 、 $h$ は一定とし、熱は厚さ方向にだけ流れるとする。

例題の解答

【手順 1】断熱面を $x = 0$ 、流体に接する面を $x = L$ とする。境界条件は $x = 0$ で断熱、 $x = L$ で対流。

【手順 2】 $k \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + q_{v} = 0$ を 2 回積分して
$T (x) = - \frac{q _{v}}{2 k} x^{2} + C_{1} x + C_{2}$

【手順 3】 $x = 0$ で $\frac{d T}{d x} = - \frac{q _{v}}{k} \cdot 0 + C_{1} = 0$ より $C_{1} = 0$ 。

【手順 4】 $x = L$ の面から出る熱流束は、板の中で発生した熱がすべてこの面から出るので $q_{v} L = 1.0 \times 1 0^{6} \times 0.010 = 1.0 \times 1 0^{4} W/ m^{2}$ 。外側は対流抵抗 $1/ h$ だけなので
$T (L) = T_{\infty} + \frac{q _{v} L}{h} = 30 + \frac{1.0 \times 1 0 ^{4}}{500} = 30 + 20 = 50^{\circ} C$
（確かめ: $- k \frac{d T}{d x}_{x = L} = k \cdot \frac{q _{v}}{k} L = q_{v} L$ で、対流の条件と一致する。）

【手順 5】 $T (L) = - \frac{q _{v}}{2 k} L^{2} + C_{2}$ より $C_{2} = T (L) + \frac{q _{v} L ^{2}}{2 k}$ 。最高温度は $\frac{d T}{d x} = 0$ となる断熱面 $x = 0$ で
$T_{m a x} = T (0) = C_{2} = 50 + \frac{1.0 \times 1 0 ^{6} \times ( 0.010 ) ^{2}}{2 \times 20} = 50 + 2.5 = 52.5^{\circ} C$

答え: $52.5$

よくある誤り

1 回目の積分で $\frac{d T}{d x} = - \frac{q _{v}}{k} x$ と積分定数を落とし、境界の位置に関係なく断熱面が $x = 0$ にあると決めつけてしまう誤り。正しくは $\frac{d T}{d x} = - \frac{q _{v}}{k} x + C_{1}$ とし、断熱面が $x = L$ にあれば $C_{1} = \frac{q _{v} L}{k}$ のように境界条件から決める
発熱層の内部の温度上昇を、発熱しない平板と同じように熱抵抗で $q_{v} L \cdot \frac{L}{k} = \frac{q _{v} L ^{2}}{k}$ と計算してしまう誤り。熱流束は断熱面の 0 から表面の $q_{v} L$ まで直線的に増えるので、正しくは $T_{m a x} - T_{表面} = \frac{q _{v} L ^{2}}{2 k}$
両面が流体に接する厚さ $2 L$ の板で、片面から出る熱流束を板全体の発熱量 $q_{v} \cdot 2 L$ としてしまう誤り。対称なので中央面が断熱面と同じ働きをし、正しくは片面あたり $q_{v} L$ で、 $T_{表面} = T_{\infty} + \frac{q _{v} L}{h}$
発熱層の外側に壁や接触熱抵抗があるのに、対流抵抗だけで $T_{表面} = T_{\infty} + \frac{q _{v} L}{h}$ としてしまう誤り。正しくは直列に合成して $T_{表面} = T_{\infty} + q_{v} L (\frac{L _{2}}{k _{2}} + R_{c} + \frac{1}{h})$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
厚さ $20 mm$ の十分に広い平板が、内部で一様に単位体積あたり $q_{v} = 1.0 \times 1 0^{6} W/m^{3}$ の熱を発生している。平板の熱伝導率は $k = 2.0 W/(m\cdotK)$ で一定であり、両側の表面温度はどちらも $50^{\circ} C$ に保たれている。熱の流れは定常で板の厚さ方向のみとする。平板内の最高温度 [ $^{\circ} C$ ] を整数で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
十分に広い 2 層の平板からなる壁を考える。壁に垂直に $x$ 軸をとる。
- 層 A（ $0 \leq x \leq L_{A}$ ）: 熱伝導率 $k_{A}$ の材料で、内部で単位体積・単位時間あたり一様に $q_{v}$ （ $q_{v} > 0$ ）の熱が発生している。面 $x = 0$ は断熱されている。
- 層 B（ $L_{A} \leq x \leq L_{A} + L_{B}$ ）: 熱伝導率 $k_{B}$ の材料で、内部発熱はない。
- 層 A と層 B の接触面には、単位面積あたりの接触熱抵抗 $R_{c}$ がある。
- 面 $x = L_{A} + L_{B}$ は温度 $T_{f}$ の流体に接しており、熱伝達率 $h$ の対流熱伝達で熱を放出している。
熱伝導率・熱伝達率・接触熱抵抗はいずれも温度によらない正の定数とし、温度は $x$ だけに依存する定常状態にあるとする。放射による熱移動は無視する。このとき、壁内の最高温度 $T_{max}$ を $q_{v}, L_{A}, L_{B}, k_{A}, k_{B}, R_{c}, h, T_{f}$ を用いて表せ。