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積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

$x > 0$ で定義された関数 $F (x)$ が
$F^{'} (x) = 3 x - \frac{2}{x}, F (1) = 0$
を満たすとき、 $F (x)$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。

この問題で使うもの

基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「基本的な関数の不定積分」を使います。 $x^{α}$ と $\frac{1}{x}$ の不定積分の公式を、項ごとに当てはめましょう。

ヒント 2

$x = x^{\frac{1}{2}}$ と書き直します。 $\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq = - 1)$ 、 $\int \frac{1}{x} d x = lo g ∣ x ∣ + C$ を使います。

ヒント 3

$F (x) = 2 x^{\frac{3}{2}} - 2 lo g x + C$ となります。あとは $F (1) = 0$ から $C$ を求めます。

答えと解説

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2 x x - 2 lo g x - 2

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解説を読む

$F (x)$ は $F^{'} (x)$ の不定積分なので、
$F (x) = \int (3 x - \frac{2}{x}) d x$
を計算します。

手順1： $x^{α}$ の形に直す。 $x = x^{\frac{1}{2}}$ です。

手順2：公式を項ごとに使う。 $α \neq = - 1$ のとき $\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ です。また $\int \frac{1}{x} d x = lo g ∣ x ∣ + C$ で、 $x > 0$ なので $lo g x$ となります。よって
$\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 2 x^{\frac{3}{2}}, \int \frac{2}{x} d x = 2 lo g x$
です。したがって、 $C$ を積分定数として
$F (x) = 2 x^{\frac{3}{2}} - 2 lo g x + C = 2 x x - 2 lo g x + C$
となります。

手順3：条件から $C$ を決める。 $F (1) = 2 \cdot 1 - 2 lo g 1 + C = 2 + C$ です。 $F (1) = 0$ より $C = - 2$ となります。

確かめ： $F (x) = 2 x^{\frac{3}{2}} - 2 lo g x - 2$ を微分すると $3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x}$ となり、 $F^{'} (x)$ と一致します。

以上より
$F (x) = 2 x x - 2 lo g x - 2$

別解

$F (x) = \int (3 x^{1/2} - \frac{2}{x}) d x = 2 x^{3/2} - 2 lo g x + C$ （ $x > 0$ なので $lo g ∣ x ∣ = lo g x$ ）。
$F (1) = 2 - 0 + C = 0$ より $C = - 2$ 。
よって $F (x) = 2 x x - 2 lo g x - 2$ 。
検算： $F^{'} (x) = 3 x^{1/2} - \frac{2}{x}$ 、 $F (1) = 2 - 0 - 2 = 0$ で条件を満たす。

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