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積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

$x > 0$ で定義された関数 $F (x)$ が
$F^{'} (x) = \frac{1}{x} + 3 x, F (1) = 0$
を満たすとき、 $F (x)$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。

この問題で使うもの

基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

基本的な関数の不定積分の公式（ $x^{α}$ と $\frac{1}{x}$ の不定積分）を使って $F (x)$ を求め、最後に $F (1) = 0$ で積分定数を決めます。

ヒント 2

$x = x^{\frac{1}{2}}$ と書き直します。 $\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq = - 1)$ 、 $\int \frac{1}{x} d x = lo g x + C (x > 0)$ を使います。

ヒント 3

$F (x) = lo g x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ となります。ここに $x = 1$ を代入して $C$ を求めましょう。

答えと解説

答えを見る

lo g x + 2 x x - 2

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解説を読む

$F (x)$ は $F^{'} (x) = \frac{1}{x} + 3 x$ の原始関数なので、不定積分を計算します。

手順1： $x$ を $x^{α}$ の形に直す

$x = x^{\frac{1}{2}}$ です。

手順2：基本的な関数の不定積分の公式を使う

$C$ を積分定数とします。 $x > 0$ では次が成り立ちます。
$\int \frac{1}{x} d x = lo g x + C$
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq = - 1)$

$α = \frac{1}{2}$ とすると、 $α + 1 = \frac{3}{2}$ です。よって
$\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x = 3 \cdot \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

2つの結果をあわせると
$F (x) = lo g x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C = lo g x + 2 x x + C$

手順3：条件 $F (1) = 0$ から $C$ を決める

$lo g 1 = 0$ なので
$F (1) = 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1 + C = 2 + C$

$2 + C = 0$ より $C = - 2$ です。

確かめ

$F (x) = lo g x + 2 x^{\frac{3}{2}} - 2$ を微分すると
$F^{'} (x) = \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{x} + 3 x$
となり、条件と一致します。

したがって
$F (x) = lo g x + 2 x x - 2$

別解

$F^{'} (x) = \frac{1}{x} + 3 x^{1/2}$ を積分すると、 $x > 0$ より $F (x) = lo g x + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = lo g x + 2 x x + C$ 。
$F (1) = 0 + 2 + C = 0$ より $C = - 2$ 。
よって $F (x) = lo g x + 2 x x - 2$ 。
検算：微分すると $\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{1}{x} + 3 x$ で一致。 $F (1) = 0 + 2 - 2 = 0$ も成り立つ。

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