積分法の問題

$F(x)$ は $e^x+\cos x$ の原始関数の1つです。そこで、まず不定積分
$$\int (e^x+\cos x)dx$$
を求めます。

手順1：基本的な関数の不定積分の公式を確認する

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ なので、次の公式が成り立ちます。
$$\int e^{x}dx=e^x+C,\int \cos xdx=\sin x+C$$
（$C$ は積分定数）

手順2：項ごとに積分する

不定積分は和に分けて計算できるので、
$$\int (e^x+\cos x)dx=\int e^{x}dx+\int \cos xdx=e^x+\sin x+C$$
となります。よって、ある定数 $C$ を用いて
$$F(x)=e^x+\sin x+C$$
と表せます。

手順3：条件 $F(0)=3$ から $C$ を決める

$x=0$ を代入すると、$e^0=1$, $\sin 0=0$ より
$$F(0)=1+0+C=1+C$$
です。これが $3$ に等しいので $1+C=3$、すなわち $C=2$ です。

確かめ

$F(x)=e^x+\sin x+2$ を微分すると $F^{\prime }(x)=e^x+\cos x$ となり、与えられた式に一致します。また、$F(0)=1+0+2=3$ も満たしています。

したがって
$$F(x)=e^x+\sin x+2$$
です。

$F^{\prime }(x)=e^x+\cos x$ を積分すると $F(x)=e^x+\sin x+C$ ($C$ は積分定数)。$F(0)=e^0+\sin 0+C=1+C=3$ より $C=2$。よって $F(x)=e^x+\sin x+2$。検算: $F^{\prime }(x)=e^x+\cos x$、$F(0)=1+0+2=3$ で条件を満たす。