積分法の問題

$F(x)$ は $x\cos x$ の不定積分のひとつです。そこで $\int x\cos xdx$ を部分積分で求めます。

部分積分の公式
$$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$$

ステップ 1：どちらを微分し、どちらを積分するかを決める
$x$ は微分すると $1$ になって簡単になります。$\cos x$ は積分しても $\sin x$ で複雑になりません。そこで
$$f(x)=x,g^{\prime }(x)=\cos x$$
とおきます。すると
$$f^{\prime }(x)=1,g(x)=\sin x$$
です。

ステップ 2：公式に当てはめる
$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int 1\cdot \sin xdx$$

ステップ 3：残った積分を計算する
$\int \sin xdx=-\cos x+C_0$ であるから、
$$\int x\cos xdx=x\sin x-(-\cos x)+C=x\sin x+\cos x+C$$
（$C$ は積分定数）となります。

確認　積の微分を使うと
$$(x\sin x+\cos x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$$
となり、正しいことがわかります。

ステップ 4：条件 $F(0)=0$ から定数を決める
$F(x)=x\sin x+\cos x+C$ とおくと
$$F(0)=0\cdot \sin 0+\cos 0+C=1+C$$
です。$F(0)=0$ より $C=-1$ となります。

したがって
$$F(x)=x\sin x+\cos x-1$$

$F(x)=\int x\cos xdx$ を部分積分で求める。$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$。$F(0)=0$ より $0+1+C=0$ なので $C=-1$。よって $F(x)=x\sin x+\cos x-1$。検算：$F^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$、$F(0)=0+1-1=0$ で条件を満たす。