積分法の問題

$a$ が定数のとき、連続な関数 $f(t)$ について
$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$
が成り立ちます。これを使います。

与えられた等式
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x{e}^x$$
の両辺を $x$ で微分します。

左辺は、下端が定数 $0$、上端が $x$ の定積分なので、上の公式から
$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)$$
となります。

右辺は積の微分を使って
$$(x{e}^x{)}^{\prime }=(x{)}^{\prime }{e}^x+x(e^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$$
となります。

したがって
$$f(x)=(x+1)e^x$$
です。

（確認）与えられた等式で $x=0$ とすると、左辺は ${\int }_0^{0}f(t)dt=0$、右辺は $0\cdot e^0=0$ となり、両辺が一致します。よって、この $f(x)$ は条件を満たします。

答えは $f(x)=(x+1)e^x$ です。

両辺を $x$ で微分する。$f$ は連続なので、微分積分学の基本定理より左辺の微分は $f(x)$ となる。右辺は積の微分より $(x{e}^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$。よって $f(x)=(x+1)e^x$。
検算：${\int }_0^x(t+1)e^{t}dt=[t{e}^t{]}_0^x=x{e}^x$（$\int (t+1)e^{t}dt=t{e}^t+C$ は $(t{e}^t{)}^{\prime }=(t+1)e^t$ より確認できる）。$x=0$ のとき両辺とも 0 で条件を満たす。