定積分で表された関数

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ を使い、定積分で表された関数を微分・決定できる

前提

定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）

説明

$\int_{a}^{x} f (t) d t$ のように、上端が変数 $x$ の定積分は $x$ の関数になります。この技能では、 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ を使って、このような関数を積分を計算せずに微分します。「定積分を含む等式を満たす関数 $f (x)$ や定数を求めよ」という問題で使います。

なぜそうしてよいのか

$f (t)$ は連続な関数とし、その原始関数の 1 つを $F (t)$ とします（ $F^{'} (t) = f (t)$ ）。定積分の定義から $\int_{a}^{x} f (t) d t = [F (t)]_{a}^{x} = F (x) - F (a)$ です。 $a$ は定数なので $F (a)$ も定数です。両辺を $x$ で微分すると、定数の微分は $0$ ですから $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = F^{'} (x) - 0 = f (x)$ となります。下端 $a$ が何であっても結果は変わりません。

図で見ると、 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ は $t = a$ から $t = x$ までの「面積」です。 $x$ を少し $Δ x$ だけ増やすと、面積はおよそ高さ $f (x)$ 、幅 $Δ x$ の細長い長方形の分 $f (x) Δ x$ だけ増えます。増え方の割合が $f (x)$ なので、微分すると $f (x)$ になるわけです。

もう 1 つ大事な性質は、上端と下端が同じなら $\int_{a}^{a} f (t) d t = F (a) - F (a) = 0$ になることです。微分すると定数の情報は消えてしまうので、等式の両辺に $x = a$ を代入して、この性質から定数を決めます。

手順

積分の中身（被積分関数）に $x$ が入っていないか確かめる。入っていれば、 $x$ は積分変数 $t$ から見て定数なので積分の外に出す。例: $\int_{a}^{x} (x - t) f (t) d t = x \int_{a}^{x} f (t) d t - \int_{a}^{x} t f (t) d t$
等式の両辺を $x$ で微分し、 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ を使って $f (x)$ を求める（ $x$ をかけた項には積の微分を使う）
等式の両辺に $x = a$ を代入し、 $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ を使って定数の条件を作る
その条件を解いて定数を決め、定義域などの条件を満たしているか確かめる

例題

$x > 0$ で連続な関数 $f (x)$ と正の定数 $a$ が、すべての $x > 0$ に対して $\int_{a}^{x} f (t) d t = 2 lo g x - 4$ を満たす。 $f (x)$ と $a$ を順に求めよ。

例題の解答

手順1: 被積分関数は $f (t)$ だけで、 $x$ は入っていないので、そのまま進める。

手順2: 両辺を $x$ で微分する。左辺は $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ 、右辺は $(2 lo g x - 4)^{'} = \frac{2}{x}$ なので $f (x) = \frac{2}{x}$

手順3: 両辺に $x = a$ を代入する（ $a > 0$ なので代入できる）。左辺は $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ だから $0 = 2 lo g a - 4$

手順4: これを解くと $lo g a = 2$ より $a = e^{2}$ 。これは $a > 0$ を満たす。

確認: $\int_{e^{2}}^{x} \frac{2}{t} d t = [2 lo g t]_{e^{2}}^{x} = 2 lo g x - 4$ となり、等式が成り立つ。

よって $f (x) = \frac{2}{x}$ 、 $a = e^{2}$ 。

答え: $(\frac{2}{x}, e^{2})$

よくある誤り

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) - f (a)$ としてしまう誤り。下端からくる $F (a)$ は定数なので微分すると $0$ になり、正しくは $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ 。
微分して $f (x)$ を求めただけで終わり、定数を決め忘れる誤り。微分すると定数の情報が消えるので、必ず $x = a$ を代入して $\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ から定数の条件（例題なら $0 = 2 lo g a - 4$ ）を作る。
被積分関数に $x$ が入ったまま公式を当てはめて、 $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = (x - x) f (x) = 0$ としてしまう誤り。正しくは $x$ を外に出して $x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t$ とし、積の微分を使って $\int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) - x f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 。
上端が $x$ 以外の式なのに $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t = f (x^{2})$ としてしまう誤り。 $\int_{0}^{u} f (t) d t$ に $u = x^{2}$ を入れた合成関数なので、合成関数の微分により正しくは $f (x^{2}) \cdot 2 x$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

定積分で表された関数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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