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積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

すべての実数 $x$ で連続な関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ について
$\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{x}$
を満たしている。このとき、 $f (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

定積分で表された関数（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「定積分で表された関数」の微分の性質 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ （ $a$ は定数）を使います。与えられた等式の両辺を $x$ で微分してみましょう。

ヒント 2

左辺を $x$ で微分すると $f (x)$ になります。右辺 $x e^{x}$ は積の微分法 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ で微分します。

ヒント 3

右辺の微分は $(x)^{'} e^{x} + x (e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x}$ です。これを左辺の微分の結果と等号で結びます。

答えと解説

答えを見る

(x + 1) e^{x}

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解説を読む

使う性質　 $f (t)$ が連続で $a$ が定数のとき
$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
が成り立つ。つまり、上端が $x$ で下端が定数の定積分を $x$ で微分すると、中身の $t$ を $x$ におき換えたものになる。

手順 1：両辺を $x$ で微分する

与えられた等式
$\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{x}$
の両辺を $x$ で微分する。

左辺は下端が定数 $0$ 、上端が $x$ なので、上の性質より
$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} f (t) d t = f (x)$
となる。

右辺は積の微分法を使って
$(x e^{x})^{'} = (x)^{'} e^{x} + x (e^{x})^{'} = 1 \cdot e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$
となる。

手順 2：結果を等号で結ぶ

左辺と右辺の微分の結果は等しいから
$f (x) = (x + 1) e^{x}$

確かめ　 $x = 0$ のとき、与えられた等式の左辺は $\int_{0}^{0} f (t) d t = 0$ 、右辺は $0 \cdot e^{0} = 0$ で一致する。等式の両辺はどちらも $x = 0$ で値が $0$ で、導関数も一致するので、得られた $f (x)$ は条件を満たしている。

よって、 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ である。

別解

両辺を $x$ で微分すると、微分積分学の基本定理より $f (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$ 。

検算： $\int_{0}^{x} (t + 1) e^{t} d t = [t e^{t}]_{0}^{x} = x e^{x}$ となり、 $\int t e^{t} d t = t e^{t} - e^{t}$ 、 $\int e^{t} d t = e^{t}$ の和が $t e^{t}$ であることから成り立つ。また $x = 0$ のとき両辺とも 0 で整合する。

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