積分法の問題

被積分関数の中の $x^2+1$ を微分すると $2x$ になります。$x$ はその定数倍なので、$f(g(x))g^{\prime }(x)$ の形とみて置換積分を使います。

手順 1：置き換える文字を決める

$t=x^2+1$ とおきます。両辺を $x$ で微分すると $\frac{dt}{dx}=2x$ です。よって
$$dt=2xdx,\text{つまり}xdx=\frac{1}{2}dt$$
となります。

手順 2：積分区間を対応させる

$x=0$ のとき $t=0^2+1=1$、$x=\sqrt{3}$ のとき $t=(\sqrt{3}{)}^2+1=4$ です。

手順 3：$t$ の積分に書き直して計算する

$${\int }_0^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}dx={\int }_1^4\sqrt{t}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}{\int }_1^4{t}^{\frac{1}{2}}dt$$

$t^{\frac{1}{2}}$ の原始関数は $\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}$ なので、
$$\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right]}_1^4=\frac{1}{3}\left(4^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}$$

したがって、求める値は $\frac{7}{3}$ です。

$t=x^2+1$ とおくと $dt=2xdx$ なので $xdx=\frac{1}{2}dt$。$x:0\to \sqrt{3}$ のとき $t:1\to 4$。
$${\int }_0^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^4{t}^{1/2}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{\left[t^{3/2}\right]}_1^4=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}$$
検算: 原始関数 $\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}$ を微分すると $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}(x^2+1{)}^{1/2}\cdot 2x=x\sqrt{x^2+1}$ で一致する。$x=\sqrt{3}$ で $\frac{1}{3}\cdot 8$、$x=0$ で $\frac{1}{3}$ なので差は $\frac{7}{3}$。