積分法の問題

方針 左辺は上端が $x$ の定積分です。上端が $x$ で下端が定数の定積分は、$x$ で微分すると被積分関数の $t$ を $x$ に置き換えたものになります。
$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)(a\text{ は定数})$$

手順 1：両辺を $x$ で微分する

与えられた等式
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x^3+\sin 2x$$
はすべての実数 $x$ で成り立つので、両辺を $x$ で微分してもよいです。

左辺は、下端 $0$ が定数なので上の公式から
$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{x}f(t)dt=f(x)$$
となります。

手順 2：右辺を微分する

$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ です。$\sin 2x$ は合成関数の微分を使って
$$(\sin 2x{)}^{\prime }=\cos 2x\cdot (2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$$
となります。よって右辺の導関数は $3x^2+2\cos 2x$ です。

手順 3：結果をまとめる

左辺と右辺の導関数を等しいとおいて
$$f(x)=3x^2+2\cos 2x$$

確認 与えられた等式に $x=0$ を代入すると、左辺は ${\int }_0^{0}f(t)dt=0$、右辺は $0^3+\sin 0=0$ となり、両辺は一致します。また
$${\int }_0^x(3t^2+2\cos 2t)dt=[t^3+\sin 2t{]}_0^x=x^3+\sin 2x$$
となり、もとの等式を満たしています。

答え：$f(x)=3x^2+2\cos 2x$

両辺を $x$ で微分すると、微分積分学の基本定理より $f(x)=3x^2+2\cos 2x$ である。

検算：${\int }_0^x(3t^2+2\cos 2t)dt=[t^3+\sin 2t{]}_0^x=x^3+\sin 2x$。これは与えられた式と一致する。また $x=0$ のとき両辺とも $0$ で、条件と整合する。