この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

微分積分の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分積分

広義積分
$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

広義積分（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

被積分関数を部分分数に分解し、上端を $R$ として積分してから $R \to \infty$ の極限をとろう。

ヒント 2

$\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ とおいて係数を決める。 $lo g$ の項はまとめて $lo g \frac{x + 1}{x}$ の形にすると極限が見やすい。

ヒント 3

$A = - 1, B = 1, C = 1$ となり、原始関数は $lo g \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ である。これに $x = R$ と $x = 1$ を代入して差をとる。

答えと解説

答えを見る

1 - lo g 2

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

部分分数分解
$\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
とおき、両辺に $x^{2} (x + 1)$ を掛けると
$1 = A x (x + 1) + B (x + 1) + C x^{2}$
$x = 0$ とおくと $B = 1$ 、 $x = - 1$ とおくと $C = 1$ 。 $x^{2}$ の係数を比べると $A + C = 0$ より $A = - 1$ 。よって
$\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

有限区間での積分 $R > 1$ として
$\int_{1}^{R} \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = [- lo g x - \frac{1}{x} + lo g (x + 1)]_{1}^{R} = [lo g \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}]_{1}^{R}$
$= lo g \frac{R + 1}{R} - \frac{1}{R} - (lo g 2 - 1)$

極限 $R \to \infty$ のとき $\frac{R + 1}{R} \to 1$ より $lo g \frac{R + 1}{R} \to 0$ 、また $\frac{1}{R} \to 0$ なので
$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = R \to \infty lim (lo g \frac{R + 1}{R} - \frac{1}{R}) - lo g 2 + 1 = 1 - lo g 2$

別解

部分分数分解: $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ とおく。両辺に $x^{2} (x + 1)$ を掛けて $1 = A x (x + 1) + B (x + 1) + C x^{2}$ 。 $x = 0$ で $B = 1$ 、 $x = - 1$ で $C = 1$ 、 $x^{2}$ の係数 $A + C = 0$ より $A = - 1$ 。よって
$\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1} .$
原始関数は $F (x) = - lo g x - \frac{1}{x} + lo g (x + 1) = lo g \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x}$ 。
$x \to \infty$ で $F (x) \to 0$ 、 $F (1) = lo g 2 - 1$ 。

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = 0 - (lo g 2 - 1) = 1 - lo g 2.$

検算: $1 - lo g 2 \approx 0.3069$ 。被積分関数は $x = 1$ で $0.5$ 、 $x = 2$ で $1/12$ 程度で急速に減衰し、 $\int_{1}^{\infty} x^{- 3} d x = 0.5$ より小さいという見積りと矛盾しない。

微分積分の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題