微分積分の問題

被積分関数は $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{-\frac{2}{3}}$ です。$x\to +0$ のとき $x^{-\frac{2}{3}}\to \infty$ となるので、区間の左端 $x=0$ で関数が発散します。そのため、ふつうの定積分としては計算できません。

手順 1: 極限の形に書き直す。 左端を $\epsilon (0<\epsilon <8)$ に置き換えて、$\epsilon \to +0$ の極限で定めます。
$${\int }_0^8{x}^{-\frac{2}{3}}dx=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{\epsilon }^8{x}^{-\frac{2}{3}}dx$$

手順 2: 区間 $[\epsilon ,8]$ で定積分を計算する。 $x^{\alpha }$ の原始関数は $\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ です。$\alpha =-\frac{2}{3}$ のとき $\alpha +1=\frac{1}{3}$ なので、原始関数は $3x^{\frac{1}{3}}$ です。
$${\int }_{\epsilon }^8{x}^{-\frac{2}{3}}dx=[3x^{\frac{1}{3}}{]}_{\epsilon }^8=3\cdot 8^{\frac{1}{3}}-3{\epsilon }^{\frac{1}{3}}=6-3\sqrt[3]{\epsilon }$$

手順 3: 極限をとる。 $\epsilon \to +0$ のとき $\sqrt[3]{\epsilon }\to 0$ です。
$$\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\left(6-3\sqrt[3]{\epsilon }\right)=6$$

極限が有限の値になったので、この広義積分は収束し、その値は $6$ です。

被積分関数 $x^{-2/3}$ は $x=0$ で発散する広義積分である。原始関数は $3x^{1/3}$ である。
$${\int }_0^8{x}^{-2/3}dx=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\left[3x^{1/3}\right]}_{\epsilon }^8=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\left(3\cdot 2-3{\epsilon }^{1/3}\right)=6$$
検算: $x=t^3$ と置換すると $dx=3t^{2}dt$、$x^{2/3}=t^2$ なので積分は ${\int }_0^{2}3dt=6$ となり一致する。