微分積分の問題

方針

被積分関数 $\frac{1}{\sqrt{3-x}}$ は、$x\to 3-0$ のとき $+\infty$ に発散します。そのため、ふつうの定積分としては計算できません。そこで、上端を $3$ より小さい $t$ に置き換えて定積分を計算し、そのあと $t\to 3-0$ の極限をとります。
$$I=\underset{t\to 3-0}{\lim }{\int }_0^t\frac{dx}{\sqrt{3-x}}$$

ステップ 1：$0<t<3$ で定積分を計算する

$\frac{1}{\sqrt{3-x}}=(3-x{)}^{-\frac{1}{2}}$ です。$(3-x{)}^{\prime }=-1$ なので、合成関数の微分より
$${\left(-2\sqrt{3-x}\right)}^{\prime }=-2\cdot \frac{1}{2}(3-x{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1)=\frac{1}{\sqrt{3-x}}$$
となります。したがって $-2\sqrt{3-x}$ は原始関数の一つです。これを使うと
$${\int }_0^t\frac{dx}{\sqrt{3-x}}=[-2\sqrt{3-x}{]}_0^t=-2\sqrt{3-t}+2\sqrt{3}$$

ステップ 2：$t\to 3-0$ の極限をとる

$t\to 3-0$ のとき $\sqrt{3-t}\to 0$ です。よって
$$I=\underset{t\to 3-0}{\lim }\left(2\sqrt{3}-2\sqrt{3-t}\right)=2\sqrt{3}$$

極限が有限の値になったので、この広義積分は収束し、
$$I=2\sqrt{3}$$
です。

被積分関数は $x=3$ で非有界なので、広義積分として極限で定義する。$I={\lim }_{t\to 3^{-}}{\int }_0^t(3-x{)}^{-1/2}dx$。原始関数は $-2\sqrt{3-x}$ なので、${\int }_0^t=-2\sqrt{3-t}+2\sqrt{3}$。$t\to 3^{-}$ で $\sqrt{3-t}\to 0$ となるから $I=2\sqrt{3}$。検算：$u=3-x$ と置換すると $I={\int }_0^3{u}^{-1/2}du=[2\sqrt{u}{]}_0^3=2\sqrt{3}$ で一致する。