微分積分の問題

ステップ1：どこが「広義」なのかを確認する

被積分関数は $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{1}{3}}$ です。$x\to +0$ のとき $x^{-\frac{1}{3}}\to \infty$ となるので、積分区間の左端 $x=0$ で関数は発散します。そのため、ふつうの定積分としては計算できません。

ステップ2：極限として書き直す

左端を $\epsilon >0$ にずらした定積分を考え、$\epsilon \to +0$ の極限で広義積分を定めます。
$$I=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }{\int }_{\epsilon }^8{x}^{-\frac{1}{3}}dx$$

ステップ3：$\epsilon$ を含んだまま定積分を計算する

$x^{-\frac{1}{3}}$ の原始関数は
$$\frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}=\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}$$
です。よって
$${\int }_{\epsilon }^8{x}^{-\frac{1}{3}}dx={\left[\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}\right]}_{\epsilon }^8=\frac{3}{2}\left(8^{\frac{2}{3}}-{\epsilon }^{\frac{2}{3}}\right)$$
となります。ここで $8^{\frac{2}{3}}=(2^3{)}^{\frac{2}{3}}=2^2=4$ です。

ステップ4：極限をとる

$\epsilon \to +0$ のとき ${\epsilon }^{\frac{2}{3}}\to 0$ なので、
$$I=\underset{\epsilon \to +0}{\lim }\frac{3}{2}\left(4-{\epsilon }^{\frac{2}{3}}\right)=\frac{3}{2}\cdot 4=6$$

極限が有限の値になったので、この広義積分は収束し、その値は
$$I=6$$
です。

被積分関数 $x^{-1/3}$ は $x=0$ で非有界なので、$\epsilon >0$ に対して ${\int }_{\epsilon }^8{x}^{-1/3}dx$ を考える。原始関数は $\frac{3}{2}{x}^{2/3}$ なので、
$${\int }_{\epsilon }^8{x}^{-1/3}dx=\frac{3}{2}\left(8^{2/3}-{\epsilon }^{2/3}\right)=\frac{3}{2}(4-{\epsilon }^{2/3}).$$
$\epsilon \to +0$ のとき ${\epsilon }^{2/3}\to 0$ なので極限は $\frac{3}{2}\cdot 4=6$ に収束する。よって広義積分は収束し、$I=6$。
検算：$p=1/3<1$ なので ${\int }_0^a{x}^{-p}dx=\frac{a^{1-p}}{1-p}$ が成り立ち、$a=8$ では $\frac{8^{2/3}}{2/3}=\frac{4\cdot 3}{2}=6$ で一致する。