微分積分の問題

手順 1：ガウス積分 $I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ を求める。

$e^{-x^2}>0$ なので $I>0$ である。$I$ を 2 回かけ、片方の積分変数を $y$ と書くと
$$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2}dy={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$
となる。極座標 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$（$r\ge 0,0\le \theta <2\pi$）に変換すると、ヤコビアンは $r$ なので $dxdy=rdrd\theta$、また $x^2+y^2=r^2$ である。よって
$$I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta .$$
内側の積分は ${\left(-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right)}^{\prime }=r{e}^{-r^2}$ を使って
$${\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}dr=\underset{R\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^R=\underset{R\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{e}^{-R^2}\right)=\frac{1}{2}.$$
したがって $I^2=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi$ で、$I>0$ より
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$$

手順 2：置換積分で与えられた積分をガウス積分に帰着させる。

$\frac{x^2}{4}=t^2$ となるように $x=2t$ とおくと $dx=2dt$ であり、$x\to \pm \infty$ のとき $t\to \pm \infty$ である。よって
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{4}}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}\cdot 2dt=2{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}dt=2\sqrt{\pi }.$$

答えは $2\sqrt{\pi }$ である。

ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\pi /a}$ ($a>0$) を用いる。ここで $a=\frac{1}{4}$ なので、値は $\sqrt{\pi /(1/4)}=\sqrt{4\pi }=2\sqrt{\pi }$。

別解（置換）：$x=2t$ とおくと $dx=2dt$、$x^2/4=t^2$ なので、積分は $2{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}dt=2\sqrt{\pi }$。

検算：被積分関数は $x=0$ で 1、$|x|=2$ で $e^{-1}\approx 0.368$ なので、幅はおよそ 3.5 程度。$2\sqrt{\pi }\approx 3.545$ で整合する。