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微分積分の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分積分

広義積分
$I = \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{- x^{2}} d x$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

広義積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（44 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

上端が $\infty$ の広義積分なので、 $\int_{0}^{R}$ を計算してから $R \to \infty$ とします。 $e^{- x^{2}}$ の指数に注目して置換を考えましょう。

ヒント 2

$t = x^{2}$ とおくと $x^{3} d x = \frac{t}{2} d t$ となります。

ヒント 3

積分は $\frac{1}{2} \int_{0}^{R^{2}} t e^{- t} d t$ になります。これを部分積分で計算しましょう。

答えと解説

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\frac{1}{2}

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解説を読む

$R > 0$ として $\int_{0}^{R} x^{3} e^{- x^{2}} d x$ を計算し、 $R \to \infty$ の極限をとる。

置換 $t = x^{2}$ とおくと $d t = 2 x d x$ 、 $x : 0 \to R$ のとき $t : 0 \to R^{2}$ であり、 $x^{3} d x = x^{2} \cdot x d x = \frac{t}{2} d t$ なので
$\int_{0}^{R} x^{3} e^{- x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{R^{2}} t e^{- t} d t .$

部分積分
$\int_{0}^{M} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{M} + \int_{0}^{M} e^{- t} d t = - M e^{- M} + 1 - e^{- M} .$
$M \to \infty$ のとき $M e^{- M} \to 0$ , $e^{- M} \to 0$ なので、この値は $1$ に収束する。

結論 $M = R^{2} \to \infty$ より
$I = R \to \infty lim \frac{1}{2} \int_{0}^{R^{2}} t e^{- t} d t = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} .$

別解

$u = x^{2}$ と置換すると $d u = 2 x d x$ , $x^{3} d x = \frac{1}{2} u d u$ より
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u e^{- u} d u = \frac{1}{2} [- u e^{- u} - e^{- u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} .$
（ $\int_{0}^{\infty} u e^{- u} d u = Γ (2) = 1$ 。）

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