この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

曲線 $y = e^{x}$ 、 $x$ 軸、および 2 直線 $x = 0$ 、 $x = 1$ で囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。

この問題で使うもの

面積と回転体の体積（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「回転体の体積」を使います。 $x$ 軸のまわりの回転体では、 $x$ 軸に垂直な平面で切った断面が円になることを利用します。

ヒント 2

$x$ 軸のまわりの回転体の体積は $V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$ です。 $(e^{x})^{2} = e^{2 x}$ に注意しましょう。

ヒント 3

$V = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1}$ となります。あとは上端と下端の値を代入して計算します。

答えと解説

答えを見る

\frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順 1：公式を確認する

$a ≦ x ≦ b$ の範囲で、曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸ではさまれた部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積は
$V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$
である。 $x$ 座標が $x$ の位置で $x$ 軸に垂直な平面で切ると、断面は半径 $∣ f (x) ∣$ の円になり、その面積は $π {f (x)}^{2}$ である。この断面積を $x = a$ から $x = b$ まで積分すると体積が得られる。

手順 2：式を立てる

この問題では $f (x) = e^{x}$ 、 $a = 0$ 、 $b = 1$ である。 ${f (x)}^{2} = (e^{x})^{2} = e^{2 x}$ なので
$V = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

手順 3：定積分を計算する

$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ であるから、 $e^{2 x}$ の原始関数の 1 つは $\frac{1}{2} e^{2 x}$ である。よって
$V = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = π (\frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} e^{0}) = \frac{π}{2} (e^{2} - 1)$

したがって、求める体積は $V = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}$ である。

別解

回転体の体積の公式より $V = π \int_{0}^{1} (e^{x})^{2} d x = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = \frac{π}{2} (e^{2} - 1)$ 。検算： $e^{2} \approx 7.389$ なので $\int_{0}^{1} e^{2 x} d x \approx 3.194$ 、 $V \approx 10.03$ 。区間 $[0, 1]$ で $e^{2 x}$ は 1 から 7.389 まで増加するので、積分値が 1 と 7.389 の間にあるのは妥当。

積分法の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題