微分積分の問題

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

実数 $x,y$ に対して
$$f(x,y)=x^3+3x{y}^2-15x-12y$$
と定める。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で極値をとる点は $(2,1)$ と $(-2,-1)$ の 2 点だけであり、$(2,1)$ で極小値 $-28$、$(-2,-1)$ で極大値 $28$ をとることを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数が点 $P$ で極値をとるならば、$P$ で 2 つの偏導関数はともに $0$ になる。
- （2 階導関数による判定）$C^2$ 級関数 $f$ の点 $P$ で $f_x=f_y=0$ とし、$H=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$ を $P$ で考える。$H>0$ かつ $f_{xx}>0$ なら $P$ で極小、$H>0$ かつ $f_{xx}<0$ なら $P$ で極大、$H<0$ なら $P$ で極値をとらない。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n(n+1)}$$
は収束し、その和が $\frac{{\pi }^2}{6}$ であることを証明せよ。ただし、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ であること、および $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ であることは用いてよい。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x$ と $y$ が実数 $t$ の関数として
$$x=t+1,y=t^2$$
で与えられているとする。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x-\sin x}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。