微分積分の問題

実数 $x$ に対して $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおき、$a$ を正の実数とする。曲線 $y=f(x)$ $(0\le x\le a)$ の長さを $L$、この曲線と $x$ 軸および 2 直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$L=S$ であり、その共通の値が $\frac{e^a-e^{-a}}{2}$ であることを証明せよ。ただし、$C^1$ 級関数 $g$ のグラフ $y=g(x)$ $(\alpha \le x\le \beta )$ の長さが ${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$ で与えられることは用いてよい。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3-6xy+3y^2+1(x,y\text{は実数})$$
はただ 1 つの点で極小となる。その極小値を求めよ。

$f,g$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数とし、平面の開集合
$$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0,x+y<1\}$$
を考える。このとき
$${\iint }_{D}f(x+y)g\left(\frac{x}{x+y}\right)dxdy=\left({\int }_0^{1}tf(t)dt\right)\left({\int }_0^{1}g(s)ds\right)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$E,F$ を平面の有界な開集合、$\Phi :E\to F$ を $C^1$ 級の全単射で、逆写像も $C^1$ 級であり、ヤコビアン $J_{\Phi }$ が $E$ 上で $0$ にならないものとする。$F$ 上の有界な連続関数 $h$ に対して ${\iint }_{F}h(x,y)dxdy={\iint }_{E}h(\Phi (u,v))|J_{\Phi }(u,v)|dudv$ が成り立つ（両辺の積分は存在する）。
- （累次積分）$(0,1)\times (0,1)$ 上の有界な連続関数 $k(u)l(v)$（$k,l$ は $[0,1]$ 上連続）について ${\iint }_{(0,1{)}^2}k(u)l(v)dudv={\int }_0^{1}k(u)du{\int }_0^{1}l(v)dv$ が成り立つ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^2+2x+y^3-12y(x,y\text{は実数})$$
を考える。$f$ の停留点（$f_x=f_y=0$ となる点）はちょうど 2 つあり、そのうち 1 つでは $f$ は極値をとらない（鞍点である）。この極値をとらない停留点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3-3x+y^2-4y(x,y\text{は実数})$$
は、ただ 1 つの点で極値をとる。その点の座標 $(x,y)$ を求めよ。