円筒の熱伝導と保温

円筒壁の熱抵抗 $R = \frac{lo g ( r _{2} / r _{1} )}{2 π k L}$ と内外表面の対流抵抗 $\frac{1}{2 π r h L}$ を合成して、多層円筒・保温材を巻いた管の単位長さあたりの熱流量を求め、臨界保温半径 $r_{c} = k / h$ を判定できる

前提

対流熱伝達と熱通過率（大学物理熱工学・伝熱）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

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基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）

説明

蒸気管や温水管のように円筒の壁を通って熱が逃げるとき、壁や保温材の「熱抵抗」を半径を使って表し、対流抵抗と直列に足し合わせることで、管の長さ $1 m$ あたりの熱流量（熱損失）を求められるようになります。さらに、細い管や電線では保温材を巻くとかえって熱が逃げやすくなることがあり、その境目となる臨界保温半径 $r_{c} = k / h$ を使って、保温材が熱損失を減らすか増やすかを判定できます。

なぜそうしてよいのか

平板では熱の通り道の断面積が一定なので、熱抵抗は $L / (k A)$ でした。円筒壁では、熱は中心から外向きに半径方向へ流れ、半径 $r$ の位置で熱が通り抜ける面は側面積 $A (r) = 2 π r L$ の円筒面です。定常状態では内側から入った熱がすべて外側へ抜けるので、どの半径でも熱流量 $Q$ は同じです。フーリエの法則を半径方向に使うと $Q = - k \cdot 2 π r L \frac{d T}{d r}$ となり、 $\frac{d T}{d r} = - \frac{Q}{2 π k L} \cdot \frac{1}{r}$ です。これを $r_{1}$ から $r_{2}$ まで積分すると（ $1/ r$ の不定積分は $lo g r$ ）、 $T_{1} - T_{2} = \frac{Q}{2 π k L} lo g \frac{r _{2}}{r _{1}}$ となり、温度差を熱流量で割った熱抵抗は $R = \frac{lo g ( r _{2} / r _{1} )}{2 π k L}$ と求まります。外へ行くほど面積が広がって熱が通りやすくなるので、温度は $r$ に比例ではなく $lo g r$ に沿って下がるのです。

表面の対流は、ニュートンの冷却則を面積 $A$ の面全体に使って $Q = h A (T_{w} - T_{f})$ と書けます。半径 $r$ ・長さ $L$ の円筒表面では面積は $A = 2 π r L$ なので $Q = h \cdot 2 π r L (T_{w} - T_{f})$ となり、温度差を熱流量で割った対流抵抗は $\frac{T _{w} - T _{f}}{Q} = \frac{1}{2 π r h L}$ です（ $r$ はその表面の半径）。内側の流体 → 管壁 → 保温材 → 外気と熱が順に通るので、電気抵抗の直列接続と同じく各抵抗を足し合わせ、 $Q = \frac{T _{内} - T _{外}}{R _{合計}}$ とします。

保温材（熱伝導率 $k$ 、外半径 $r$ ）を巻いたときの、保温材部分と外表面の対流の抵抗の和（単位長さあたり）は $R^{'} (r) = \frac{lo g ( r / r _{1} )}{2 π k} + \frac{1}{2 π r h}$ です。保温材を厚くすると第 1 項は増えますが、外表面積が広がるので第 2 項は減ります。 $\frac{d R ^{'}}{d r} = \frac{1}{2 π k r} - \frac{1}{2 π h r ^{2}} = \frac{1}{2 π r ^{2}} (\frac{r}{k} - \frac{1}{h})$ は $r < k / h$ で負、 $r > k / h$ で正なので、 $R^{'}$ は $r = r_{c} = k / h$ で最小、つまり熱損失は最大になります。管の外半径が $r_{c}$ より小さいと、 $r_{c}$ までは保温材を巻くほど熱損失が増え、管の外半径が $r_{c}$ 以上なら保温材を巻くほど熱損失は減ります。

手順

熱が通る層を内側から順に並べる（内側流体の対流 → 管壁 → 保温材 → 外表面の対流）。各層の内半径・外半径、熱伝導率 $k$ 、熱伝達率 $h$ を確認する
各円筒層の伝導抵抗を求める: $R = \frac{lo g ( r _{外} / r _{内} )}{2 π k L}$ （単位長さあたりなら $L = 1$ として $R^{'} = \frac{lo g ( r _{外} / r _{内} )}{2 π k}$ ）
各表面の対流抵抗を、その表面の半径で求める: $R = \frac{1}{2 π r h L}$ （単位長さあたり $R^{'} = \frac{1}{2 π r h}$ ）
直列なので抵抗を足し合わせ、熱流量を求める: $Q = \frac{T _{内} - T _{外}}{\sum R}$ （単位長さあたりは $Q / L = \frac{Δ T}{\sum R ^{'}}$ ）
保温の効果を判定するときは臨界保温半径 $r_{c} = k_{保温材} / h_{外}$ を計算し、保温材を巻く面の半径と比べる（その半径が $r_{c}$ 以上なら、保温材を厚くするほど熱損失は減る）

例題

外半径 $r_{1} = 0.05 m$ の管の外表面の温度が $150^{\circ} C$ に保たれている。この管に熱伝導率 $k = 0.05 W/ (m \cdot K)$ の保温材を外半径 $r_{2} = 0.10 m$ まで巻いた。保温材の外表面は温度 $20^{\circ} C$ の空気に接しており、その熱伝達率は $h = 10 W/ (m^{2} \cdot K)$ である。定常状態で、管の長さ $1 m$ あたりの熱損失 $q^{'}$ [W/m] を正確な値（ $π$ と $lo g$ を含む式）で求めよ。ただし $lo g$ は自然対数とする。

例題の解答

【手順 1】熱は管の外表面（ $150^{\circ} C$ ）→ 保温材（ $r_{1} \to r_{2}$ の円筒層）→ 保温材外表面の対流 → 空気（ $20^{\circ} C$ ）と流れる。管表面の温度が与えられているので、内側流体の対流と管壁の抵抗は考えなくてよい。

【手順 2】保温材の伝導抵抗（単位長さあたり）は
$R_{1}^{'} = \frac{lo g ( r _{2} / r _{1} )}{2 π k} = \frac{lo g 2}{2 π \times 0.05} = \frac{10 lo g 2}{π} m \cdot K/W$

【手順 3】外表面の対流抵抗は、保温材の外半径 $r_{2} = 0.10 m$ を使って
$R_{2}^{'} = \frac{1}{2 π r _{2} h} = \frac{1}{2 π \times 0.10 \times 10} = \frac{1}{2 π} m \cdot K/W$

【手順 4】直列に足すと
$R_{1}^{'} + R_{2}^{'} = \frac{20 lo g 2}{2 π} + \frac{1}{2 π} = \frac{1 + 20 lo g 2}{2 π}$
よって
$q^{'} = \frac{150 - 20}{R _{1}^{'} + R _{2}^{'}} = \frac{130 \times 2 π}{1 + 20 lo g 2} = \frac{260 π}{1 + 20 lo g 2} \approx 55 W/m$

【手順 5】（確認）臨界保温半径は $r_{c} = k / h = 0.05/10 = 0.005 m$ で、管の外半径 $r_{1} = 0.05 m$ より小さい。したがってこの管では保温材を巻くほど熱損失は減り、保温材は正しく働いている。

答え: $\frac{260 π}{1 + 20 lo g 2}$

よくある誤り

円筒壁にも平板の式をそのまま使い、厚さ $r_{2} - r_{1}$ と内側の面積で $R = \frac{r _{2} - r _{1}}{k \cdot 2 π r _{1} L}$ としてしまう誤り。断面積が半径とともに変わるので、正しくは $R = \frac{lo g ( r _{2} / r _{1} )}{2 π k L}$
対流抵抗の面積に管の内半径や保温前の半径を使ってしまう誤り。例えば外気側で $\frac{1}{2 π r _{1} h L}$ とするのは誤りで、正しくは空気が接している保温材外表面の半径を使い $\frac{1}{2 π r _{2} h L}$
対数の中身を逆にして $lo g (r_{1} / r_{2})$ としてしまい、抵抗が負になる誤り。正しくは外半径を内半径で割った $lo g (r_{外} / r_{内}) > 0$
保温材は厚いほど必ず熱損失を減らすと考えてしまう誤り。正しくは、巻く面の半径が $r_{c} = k / h$ より小さいときは、外半径が $r_{c}$ に達するまでは保温材を厚くするほど熱損失が増える（例: $k = 0.2 W/ (m \cdot K)$ , $h = 10 W/ (m^{2} \cdot K)$ なら $r_{c} = 0.02 m$ で、半径 $1 mm$ の電線に被覆を巻くと放熱は増える）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
外半径 $r_{1} = 0.050 m$ の蒸気管に、熱伝導率 $k = 0.050 W/(m\cdotK)$ の保温材を外半径 $r_{2} = 0.100 m$ まで一様に巻いた。保温材の内表面（管の外表面）の温度は $150^{\circ} C$ に保たれ、保温材の外表面は温度 $30^{\circ} C$ の周囲空気に熱伝達率 $h = 10 W/(m^{2} \cdotK)$ で熱を伝えている。熱の流れは定常で半径方向のみとし、放射による熱移動は無視する。管の長さ $1 m$ あたりの熱損失 $Q^{'}$ [W/m] を有効数字 $3$ 桁で求めよ。 $lo g 2 = 0.6931$ 、 $π = 3.1416$ を用いてよい。

円筒の熱伝導と保温

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題