微分積分の問題

方針

内側の積分には $\int e^{y^2}dy$ が現れますが、$e^{y^2}$ の原始関数は初等関数で表せません。そこで、積分する領域を図示し、積分の順序を交換して先に $x$ で積分します。

1. 積分領域を読み取る

与えられた累次積分の範囲は
$$0\le x\le e-1,\log (1+x)\le y\le 1$$
です。したがって $I$ は、領域
$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le e-1,\log (1+x)\le y\le 1\}$$
上の重積分 ${\iint }_D\frac{e^{y^2}}{1+x}dxdy$ に等しくなります。

2. 領域を図示する

曲線 $y=\log (1+x)$ は $x=e^y-1$ と同じです。この曲線は $x=0$ で $y=0$、$x=e-1$ で $y=1$ を通り、単調に増加します。よって $D$ は、$y$ 軸（$x=0$）、直線 $y=1$、曲線 $x=e^y-1$ で囲まれた部分です。

3. 横方向に切り直す

$y$ を $0\le y\le 1$ の範囲で固定します。このとき $x$ は $y$ 軸（$x=0$）から曲線 $x=e^y-1$ まで動きます。よって
$$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,0\le x\le e^y-1\}$$
と書き直せます。被積分関数 $\frac{e^{y^2}}{1+x}$ は $D$ 上で連続なので、積分の順序を交換して
$$I={\int }_0^1\left({\int }_0^{e^y-1}\frac{e^{y^2}}{1+x}dx\right)dy$$
とできます。

4. 内側の積分を計算する

内側の積分では $y$ は定数なので、$e^{y^2}$ を積分の外に出せます。$1+x>0$ より
$${\int }_0^{e^y-1}\frac{e^{y^2}}{1+x}dx=e^{y^2}[\log (1+x){]}_0^{e^y-1}=e^{y^2}\left(\log e^y-\log 1\right)=y{e}^{y^2}$$

5. 外側の積分を計算する

$$I={\int }_0^{1}y{e}^{y^2}dy$$
を計算します。$(e^{y^2}{)}^{\prime }=2y{e}^{y^2}$ なので
$$\int y{e}^{y^2}dy=\frac{1}{2}{e}^{y^2}+C$$
です。よって
$$I=\frac{1}{2}[e^{y^2}{]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1)$$

答え $I=\frac{e-1}{2}$

積分領域は $0\le x\le e-1$, $\log (1+x)\le y\le 1$ である。$y=\log (1+x)$ より $x=e^y-1$ なので、$y$ の範囲は $0\le y\le 1$ で、各 $y$ に対し $0\le x\le e^y-1$ となる（$x=e-1$ のとき $y=1$ で整合する）。積分順序を交換すると
$$I={\int }_0^1{e}^{y^2}\left({\int }_0^{e^y-1}\frac{dx}{1+x}\right)dy={\int }_0^1{e}^{y^2}\log (e^y)dy={\int }_0^{1}y{e}^{y^2}dy.$$
$$={\left[\frac{1}{2}{e}^{y^2}\right]}_0^1=\frac{e-1}{2}.$$
検算：内側の積分は初等関数で表せないので、順序交換の結果のみを確認する。領域は $y\ge \log (1+x)⟺x\le e^y-1$ で、$y\le 1$ と $x\ge 0$ から $y\ge 0$ も得られる。$x\le e-1$ は $y\le 1$ から自動的に従う。よって正しい。