微分積分の問題

手順 1：積分領域を不等式で表し、図示する。

もとの累次積分では、まず $x$ を $\sqrt[3]{y}$ から $1$ まで動かし、次に $y$ を $0$ から $1$ まで動かしている。したがって積分領域は
$$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\sqrt[3]{y}\le x\le 1\}$$
である。$xy$ 平面では、曲線 $x=\sqrt[3]{y}$（すなわち $y=x^3$）、直線 $x=1$、直線 $y=0$（$x$ 軸）で囲まれた部分になる。

内側の積分 $\int \sin (\pi x^4)dx$ は原始関数を初等関数で表せないので、このままの順序では計算できない。

手順 2：同じ領域を「$x$ を先に固定する」形で書き直す。

図から、$x$ は $0$ から $1$ まで動く。$x$ を固定すると、$y$ は $x$ 軸 $y=0$ から曲線 $y=x^3$ まで動く（$0\le y\le 1$ のとき $\sqrt[3]{y}\le x⟺y\le x^3$）。よって
$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le x^3\}.$$

手順 3：順序を交換した累次積分を計算する。

被積分関数 $\sin (\pi x^4)$ は有界閉領域 $D$ 上で連続なので、積分の順序を交換できて
$$I={\int }_0^1\left({\int }_0^{x^3}\sin \left(\pi x^4\right)dy\right)dx.$$
内側の積分では $\sin (\pi x^4)$ は $y$ によらない定数とみなせるので
$${\int }_0^{x^3}\sin \left(\pi x^4\right)dy=x^3\sin \left(\pi x^4\right).$$
したがって
$$I={\int }_0^1{x}^3\sin \left(\pi x^4\right)dx.$$
$t=x^4$ とおくと $dt=4x^{3}dx$ であり、$x:0\to 1$ のとき $t:0\to 1$ となる。よって
$$I=\frac{1}{4}{\int }_0^1\sin (\pi t)dt=\frac{1}{4}{\left[-\frac{\cos (\pi t)}{\pi }\right]}_0^1=\frac{1}{4}\cdot \frac{-\cos \pi +\cos 0}{\pi }=\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{\pi }=\frac{1}{2\pi }.$$

積分領域は $0\le y\le 1,\sqrt[3]{y}\le x\le 1$ である。これは $0\le x\le 1,0\le y\le x^3$ と同じ領域である。

積分の順序を交換すると
$$I={\int }_0^1\sin (\pi x^4)\left({\int }_0^{x^3}dy\right)dx={\int }_0^1{x}^3\sin (\pi x^4)dx.$$

$u=\pi x^4$ とおくと $du=4\pi x^{3}dx$ である。よって
$$I={\left[-\frac{\cos (\pi x^4)}{4\pi }\right]}_0^1=\frac{-\cos \pi +\cos 0}{4\pi }=\frac{2}{4\pi }=\frac{1}{2\pi }.$$

検算として、被積分関数 $x^3\sin (\pi x^4)$ は $[0,1]$ 上で非負である。原始関数 $-\cos (\pi x^4)/(4\pi )$ を微分すると $x^3\sin (\pi x^4)$ になることも確かめた。