微分積分の問題

手順1：積分領域を読み取る。

累次積分の範囲から、積分領域 $D$ は
$$D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 4,\sqrt{y}\le x\le 2\}$$
である。

手順2：領域を図示する。

$x=\sqrt{y}$ は、$x\ge 0$ の範囲で放物線 $y=x^2$ を表す。$y$ を $0$ から $4$ まで動かすと、$x$ は放物線 $y=x^2$ から直線 $x=2$ まで動く。したがって $D$ は、放物線 $y=x^2$、直線 $x=2$、$x$ 軸 $y=0$ で囲まれた部分である。頂点は $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$ で、点 $(2,4)$ は放物線上にある。

手順3：$x$ を外側にして領域を表し直す。

図から、$x$ は $0$ から $2$ まで動き、各 $x$ に対して $y$ は $0$（$x$ 軸）から $x^2$（放物線）まで動く。よって
$$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le x^2\}$$
と表せる。

手順4：積分の順序を交換する。

$$I={\iint }_D{e}^{x^3}dxdy={\int }_0^2\left({\int }_0^{x^2}{e}^{x^3}dy\right)dx$$

内側の積分では $x$ を定数とみなすので、
$${\int }_0^{x^2}{e}^{x^3}dy=e^{x^3}[y{]}_0^{x^2}=x^2{e}^{x^3}$$
となる。したがって
$$I={\int }_0^2{x}^2{e}^{x^3}dx$$
である。

手順5：置換積分で計算する。

$t=x^3$ とおくと $dt=3x^{2}dx$ である。$x$ が $0$ から $2$ まで動くとき、$t$ は $0$ から $8$ まで動く。よって
$$I=\frac{1}{3}{\int }_0^8{e}^{t}dt=\frac{1}{3}[e^t{]}_0^8=\frac{e^8-1}{3}$$
となる。

以上より、$I=\frac{e^8-1}{3}$ である。

積分領域は $0\le y\le 4,\sqrt{y}\le x\le 2$ である。$\sqrt{y}\le x$ は $y\le x^2$ と同値なので、領域は $0\le x\le 2,0\le y\le x^2$ と書き直せる。

積分の順序を交換すると
$$I={\int }_0^2\left({\int }_0^{x^2}dy\right)e^{x^3}dx={\int }_0^2{x}^2{e}^{x^3}dx.$$

$u=x^3$ と置くと $du=3x^{2}dx$ である。$x=0$ のとき $u=0$、$x=2$ のとき $u=8$ なので
$$I=\frac{1}{3}{\int }_0^8{e}^{u}du=\frac{e^8-1}{3}.$$

検算：$\frac{d}{dx}\frac{e^{x^3}}{3}=x^2{e}^{x^3}$ なので、原始関数は $\frac{e^{x^3}}{3}$ である。これより ${\left[\frac{e^{x^3}}{3}\right]}_0^2=\frac{e^8-1}{3}$ となり、上の結果と一致する。