確率論の問題

方針. 長さ $10$ の経路 $(S_0,S_1,\dots ,S_{10})$ は全部で $2^{10}=1024$ 通りあり、どれも確率 $2^{-10}$ で現れる。したがって、条件を満たす経路の本数を数えればよい。その本数を反射原理で求める。

ステップ 1（反射）. $S_{10}=2$ で、途中で高さ $4$ に到達する経路を考える。初めて $S_k=4$ となる時刻を $\tau$ とする。時刻 $\tau$ より後の部分を直線 $y=4$ に関して折り返す（$\tau$ より後の各ステップの $\pm 1$ を入れ替える）。すると終点は $2$ から $2\cdot 4-2=6$ に移る。

逆に、$S_{10}=6$ となる経路は、$0<4<6$ なので必ずどこかで高さ $4$ を通る。初めて $4$ に達した時刻より後を同じように折り返すと、高さ $4$ に到達し終点が $2$ の経路に戻る。

この 2 つの操作は互いに逆になっている。よって次の 2 つの集合は 1 対 1 に対応する。
$$\{\underset{k}{\max }{S}_k\ge 4,S_{10}=2\}⟷\{S_{10}=6\}$$

ステップ 2（数える）. $S_{10}=6$ となる経路では、上昇の回数 $u$ と下降の回数 $d$ が $u+d=10$, $u-d=6$ を満たす。これより $u=8$, $d=2$ である。その本数は
$${}_{10}{\mathrm{C}}_2=45$$
である。

ステップ 3（確率）. 求める確率は
$$\frac{45}{2^{10}}=\frac{45}{1024}$$
である。

最大値が 4 以上になる事象は、はじめて水準 4 に到達する時刻 $\tau$ が存在する事象である。$S_{10}=2<4$ なので、$\tau$ 以降の経路を水準 4 について折り返すと（反射原理）、最大値が 4 以上で $S_{10}=2$ となる経路は、$S_{10}=2\cdot 4-2=6$ となる経路と一対一に対応する。

$S_{10}=6$ となるのは、$+1$ が 8 回、$-1$ が 2 回のときである。その経路数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$ 通りである。全経路は $2^{10}=1024$ 通りなので、求める確率は $\frac{45}{1024}$ である。

検算：$S_{10}=2$ となるのは $+1$ が 6 回、$-1$ が 4 回のときで、経路数は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210$ である。このうち最大値が 4 以上となるものが 45 通りであり、$45\le 210$ で矛盾しない。