この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

確率論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学確率論

$X_{1}, X_{2}, \dots$ は互いに独立な確率変数で、各 $X_{i}$ は $P (X_{i} = 1) = P (X_{i} = - 1) = \frac{1}{2}$ を満たすとする。 $S_{0} = 0$ , $S_{k} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{k} (k \geq 1)$ で定まる単純対称ランダムウォークを考える。最初の $6$ ステップまでに一度でも $2$ に到達する確率、すなわち
$P (0 \leq k \leq 6 max S_{k} \geq 2)$
を求めよ。

この問題で使うもの

単純ランダムウォークと反射原理（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）
確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

反射原理を使う。 $2$ に到達した経路を、終点 $S_{6}$ が $2$ 以上か $2$ 未満かで分け、後者は初めて $2$ に達した時刻以降を直線 $y = 2$ で折り返す。

ヒント 2

折り返しにより $# {max_{k \leq 6} S_{k} \geq 2} = # {S_{6} \geq 2} + # {S_{6} > 2}$ が成り立つ。 $S_{6} = 2 u - 6$ となる経路は $_{6} C_{u}$ 通り。

ヒント 3

$S_{6} = 2, 4, 6$ となる経路はそれぞれ $15, 6, 1$ 通りなので、 $# {S_{6} \geq 2} = 22$ 、 $# {S_{6} > 2} = 7$ となる。

答えと解説

答えを見る

\frac{29}{64}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

長さ $6$ の経路（ $X_{1}, \dots, X_{6}$ の符号の並び）は $2^{6} = 64$ 通りあり、どれも確率 $\frac{1}{64}$ で同様に確からしい。よって、 $max_{0 \leq k \leq 6} S_{k} \geq 2$ となる経路の個数を数えればよい。

反射原理の適用. $max_{k \leq 6} S_{k} \geq 2$ となる経路を、終点 $S_{6}$ の値で 2 種類に分ける。

$S_{6} \geq 2$ の経路：自動的に $2$ に到達しているので、そのまま数える。
$S_{6} = b < 2$ の経路：初めて $2$ に到達した時刻 $τ$ 以降の部分を直線 $y = 2$ に関して折り返すと、終点が $4 - b > 2$ の経路になる。この対応は 1 対 1 で、逆に $S_{6} > 2$ の経路は必ず $2$ を通るので、折り返しで $S_{6} < 2$ かつ $2$ に到達する経路に戻る。したがって、この種類の経路の個数は $S_{6} > 2$ となる経路の個数に等しい。

よって
$# {max S_{k} \geq 2} = # {S_{6} \geq 2} + # {S_{6} > 2} .$

終点の分布. 上向きの歩数を $u$ とすると $S_{6} = 2 u - 6$ で、 $S_{6} = 2 u - 6$ となる経路は $_{6} C_{u}$ 通り。
- $S_{6} = 2$ （ $u = 4$ ）： $_{6} C_{4} = 15$
- $S_{6} = 4$ （ $u = 5$ ）： $_{6} C_{5} = 6$
- $S_{6} = 6$ （ $u = 6$ ）： $_{6} C_{6} = 1$

したがって $# {S_{6} \geq 2} = 15 + 6 + 1 = 22$ 、 $# {S_{6} > 2} = 6 + 1 = 7$ であり、
$# {max S_{k} \geq 2} = 22 + 7 = 29.$

答え.
$P (0 \leq k \leq 6 max S_{k} \geq 2) = \frac{29}{64} .$

（検算：余事象の個数は $# {S_{6} \in {- 2, 0}} =_{6} C_{2} +_{6} C_{3} = 15 + 20 = 35$ で、 $64 - 35 = 29$ と一致する。）

別解

反射原理より、 $a = 2$ として $P (max_{0 \leq k \leq n} S_{k} \geq a) = P (S_{n} \geq a) + P (S_{n} > a) = 2 P (S_{n} > a) + P (S_{n} = a)$ が成り立つ。

$n = 6$ のとき、 $S_{6} = 2 j - 6$ （ $j$ は $+ 1$ の回数）で、 $P (S_{6} = 2 j - 6) = (j 6) /64$ 。
- $S_{6} = 2$ （ $j = 4$ ）: $15/64$
- $S_{6} = 4$ （ $j = 5$ ）: $6/64$
- $S_{6} = 6$ （ $j = 6$ ）: $1/64$

よって $P (S_{6} = 2) = 15/64$ 、 $P (S_{6} > 2) = 7/64$ 。

求める確率は $2 \cdot \frac{7}{64} + \frac{15}{64} = \frac{29}{64}$ 。

検算: $P (S_{6} \geq 2) + P (S_{6} > 2) = \frac{22}{64} + \frac{7}{64} = \frac{29}{64}$ で一致する。

確率論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題