クロマトグラフィーの理論段数と保持係数

保持時間とピーク幅（底辺幅 $w = 4 σ$ 、半値幅 $w_{1/2} = 2 2 lo g 2 σ$ ）から理論段数 $N = (t_{R} / σ)^{2}$ と理論段高 $H = L / N$ 、保持係数 $k = (t_{R} - t_{M}) / t_{M}$ を求められる

前提

物質の分離・精製の方法（高校化学物質の構成と化学結合（知識））
正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

カラムクロマトグラフィー（ガスクロマトグラフィーや液体クロマトグラフィー）で得られるクロマトグラムのピークから、カラムの分離性能と、物質がどれだけ固定相に保持されるかを数値で表せるようになります。ピークの位置（保持時間 $t_{R}$ ）と広がり（ピーク幅）から理論段数 $N$ と理論段高 $H$ を、保持時間と固定相に保持されない物質の溶出時間 $t_{M}$ から保持係数 $k$ を求めます。 $N$ が大きい（ $H$ が小さい）ほどピークが鋭くなり、近い保持時間の物質どうしも分けやすくなります。

なぜそうしてよいのか

試料の帯はカラムの中を進むうちに、拡散や流れの不均一さによって少しずつ広がり、検出器に届くときにはほぼ正規分布の形のピークになります。この広がりを、カラムを長さ $H$ の小さな区間（理論段） $N$ 個に分け、各区間で分子の位置が互いに独立にばらつくと考えます。各区間でのばらつきの分散を $H^{2}$ 程度とすると、独立なばらつきの分散は足し合わされるので、長さ $L = N H$ を進んだときの帯の標準偏差（長さの単位）は $σ_{L} = N H$ です。すると相対的な広がりは $\frac{σ _{L}}{L} = \frac{N H}{N H} = \frac{1}{N}$ となります。検出器では帯が一定の速さで通過するので、長さの比は時間の比に等しく $\frac{σ}{t _{R}} = \frac{1}{N}$ （ $σ$ は時間で測ったピークの標準偏差）です。これを $N$ について解くと $N = (\frac{t _{R}}{σ})^{2}$ 、また $H = \frac{L}{N}$ が理論段 1 段の長さになります。

$σ$ はクロマトグラムから直接は読めないので、ピーク幅から求めます。正規分布の曲線の変曲点（ $t_{R} \pm σ$ ）で引いた接線が基線と交わる 2 点の間隔が底辺幅で $w = 4 σ$ です。また、高さが最大値の半分になる位置は $e^{- x^{2} / (2 σ^{2})} = \frac{1}{2}$ から $x = \pm σ 2 lo g 2$ なので、半値幅は $w_{1/2} = 2 2 lo g 2 σ$ です。これらを代入すると $N = 16 (\frac{t _{R}}{w})^{2} = 8 lo g 2 (\frac{t _{R}}{w _{1/2}})^{2}$ となります（ $8 lo g 2 \approx 5.545$ ）。

保持係数は、物質が固定相にどれだけ長くとどまるかを表します。どの物質も移動相の中にいる時間の合計は、固定相に全く保持されない物質の溶出時間 $t_{M}$ と同じです。保持時間のうち残りの $t_{R} - t_{M}$ が固定相にいた時間なので、その比 $k = \frac{t _{R} - t _{M}}{t _{M}}$ は、固定相にいる時間と移動相にいる時間の比、つまり平均して固定相と移動相に存在する物質量の比を表します。

手順

クロマトグラムから保持時間 $t_{R}$ とピーク幅を読み、時間の単位をそろえる
ピーク幅から標準偏差 $σ$ を求める：底辺幅なら $σ = \frac{w}{4}$ 、半値幅なら $σ = \frac{w _{1/2}}{2 2 lo g 2}$
理論段数 $N = (\frac{t _{R}}{σ})^{2}$ を計算する（ $N = 16 (t_{R} / w)^{2}$ 、 $N = 8 lo g 2 (t_{R} / w_{1/2})^{2}$ と同じ）
カラムの長さ $L$ から理論段高 $H = \frac{L}{N}$ を求める（答える単位に換算する）
保持されない物質の溶出時間 $t_{M}$ から保持係数 $k = \frac{t _{R} - t _{M}}{t _{M}}$ を求める

例題

あるカラムクロマトグラフィーで、物質 A のピークの保持時間が $t_{R} = 8.00 min$ 、底辺幅が $w = 0.400 min$ であった。ピークは正規分布の形をしており、底辺幅は $w = 4 σ$ （ $σ$ はピークの標準偏差）であるとする。このカラムの物質 A に対する理論段数 $N$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $t_{R} = 8.00 min$ 、 $w = 0.400 min$ で、単位はどちらも min にそろっている。

手順 2： $σ = \frac{w}{4} = \frac{0.400}{4} = 0.100 min$ 。

手順 3：
$N = (\frac{t _{R}}{σ})^{2} = (\frac{8.00}{0.100})^{2} = 80. 0^{2} = 6400$
（ $N = 16 (\frac{8.00}{0.400})^{2} = 16 \times 400 = 6400$ としても同じ。）

よって理論段数は $6400$ である。

答え: $6400$

よくある誤り

ピーク幅をそのまま $σ$ として $N = (t_{R} / w)^{2}$ としてしまう誤り。正しくは底辺幅は $w = 4 σ$ なので $N = 16 (t_{R} / w)^{2}$ 。例題では $(8.00/0.400)^{2} = 400$ ではなく $6400$ 。
半値幅を使うときに底辺幅と同じ係数 16 を使ってしまう誤り。正しくは $w_{1/2} = 2 2 lo g 2 σ$ なので $N = 8 lo g 2 (t_{R} / w_{1/2})^{2} \approx 5.545 (t_{R} / w_{1/2})^{2}$ （ $lo g$ は自然対数）。
保持係数を $k = \frac{t _{R}}{t _{M}}$ としてしまう誤り。正しくは移動相にいた時間 $t_{M}$ を差し引いて $k = \frac{t _{R} - t _{M}}{t _{M}}$ 。例えば $t_{R} = 8.00 min$ 、 $t_{M} = 1.00 min$ なら $k = 7.00$ で、 $8.00$ ではない。
$t_{R}$ とピーク幅の単位をそろえずに計算してしまう誤り（例: $t_{R} = 8.00 min$ と $w = 24.0 s$ をそのまま割る）。正しくは $w = 0.400 min$ に直してから $N = 16 (8.00/0.400)^{2}$ とする。同様に $H = L / N$ も $L$ の単位に注意して答える単位に換算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある化合物をガスクロマトグラフィーで分析したところ、保持時間 $t_{R} = 5.00 min$ のところに、底辺幅（ピークの両側の接線と基線との交点の間隔） $w = 0.250 min$ のピークが得られた。ピークはガウス分布の形をしており、その標準偏差を $σ$ （時間の単位）とすると $w = 4 σ$ である。このカラムのこの化合物に対する理論段数 $N = (\frac{t _{R}}{σ})^{2}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

分離度とカラムの長さ（大学化学分析化学）