物理実験・誤差論の問題

エアトラック上を一定の速さで動くグライダーの運動エネルギー $K$ を、次の測定から求める。

• 質量: グライダー本体の質量 $m_1$ と、その上に載せたおもりの質量 $m_2$ を別々に量り、$m=m_1+m_2$ とする。結果は $m_1=200.0\mathrm{g}$（標準不確かさ $0.3\mathrm{g}$）、$m_2=50.0\mathrm{g}$（標準不確かさ $0.4\mathrm{g}$）であった。
• 速さ: グライダーに取り付けた幅 $L$ の遮光板が光電ゲートを横切る時間 $t$ を測り、$v=L/t$ とする。結果は $L=20.00\mathrm{mm}$（標準不確かさ $0.04\mathrm{mm}$）、$t=40.00\mathrm{ms}$（標準不確かさ $0.08\mathrm{ms}$）であった。

運動エネルギーは
$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{m_1+m_2}{2}\cdot \frac{L^2}{t^2}$$
で計算する。4 つの測定値 $m_1,m_2,L,t$ の誤差は互いに独立で、不確かさは測定値に比べて十分小さく、誤差の伝播は 1 次の近似（各寄与の二乗和の平方根）で扱えるものとする。$K$ の標準不確かさ $u(K)$ を $\mathrm{mJ}$ 単位で、丸めずに正確な値で求めよ。

2 つの抵抗器を直列につなぎ、その両端に直流電圧 $V$ を加えたときに抵抗器全体で消費される電力 $P$ を
$$P=\frac{V^2}{R_1+R_2}$$
により求める。測定・表示の結果は次のとおりである（$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$V=10.00\pm 0.15\mathrm{V},R_1=30.0\pm 1.2\Omega ,R_2=20.0\pm 1.6\Omega$$
$V$、$R_1$、$R_2$ の誤差は互いに独立で偶然誤差とみなせ、誤差の伝播は 1 次の近似で扱うものとする。$P$ の標準不確かさは何 $\mathrm{W}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある凸レンズの焦点距離 $f$ を、4 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $\mathrm{cm}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=20.02\pm 0.10,f_2=19.90\pm 0.20,f_3=20.10\pm 0.20,f_4=19.98\pm 0.10$$
各結果の誤差は互いに独立な正規分布に従い、偶然誤差のみを含むものとする。4 つの結果を各標準不確かさ ${\sigma }_i$ の 2 乗の逆数 $w_i=1/{\sigma }_i^2$ を重みとして重み付き平均した値を $\bar{f}$ とするとき、
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4{\left(\frac{f_i-\bar{f}}{{\sigma }_i}\right)}^2$$
の値を求めよ。答えは正確な値（小数または分数）で答えよ。

ある共振器の共振周波数 $f$ を、4 つの研究グループが互いに独立に測定し、次の結果を報告した（単位は $\mathrm{Hz}$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$f_1=2500\pm 1,f_2=2504\pm 2,f_3=2498\pm 2,f_4=2502\pm 1$$
各測定値の誤差は互いに独立で正規分布に従うとし、これらを重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $f_i$ の標準不確かさ）で重み付き平均して
$$\bar{f}=\frac{{\sum }_{i=1}^4{w}_i{f}_i}{{\sum }_{i=1}^4{w}_i},{\sigma }_{\bar{f}}={\left(\sum _{i=1}^4{w}_i\right)}^{-1/2}$$
を求める。さらに、測定値どうしの食い違いを評価するため
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^4\frac{(f_i-\bar{f}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$
を計算し、${\chi }^2/(N-1)$（$N=4$）が $1$ より大きい場合には、不確かさを拡大因子 $S=\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ 倍して、最終的な不確かさを ${\sigma }^{\prime }=S{\sigma }_{\bar{f}}$ とする（$1$ 以下の場合は ${\sigma }^{\prime }={\sigma }_{\bar{f}}$ とする）。

この手順で得られる最終的な不確かさ ${\sigma }^{\prime }$ を、単位 $\mathrm{Hz}$ で、根号を含む正確な値で求めよ。

ある地点の重力加速度 $g$ を、3 つの班が互いに独立な方法で測定し、次の結果を得た（単位は $m/{\mathrm{s}}^2$、$\pm$ の後は標準不確かさ）。
$$g_1=9.800\pm 0.010,g_2=9.830\pm 0.020,g_3=9.770\pm 0.020$$
これらを次の手順でまとめる。

1. 重み $w_i=1/{\sigma }_i^2$（${\sigma }_i$ は $g_i$ の標準不確かさ）を用いた重み付き平均 $\bar{g}$ と、その標準不確かさ ${\sigma }_{\bar{g}}={\left({\sum }_i{w}_i\right)}^{-1/2}$ を求める。
2. カイ二乗 $${\chi }^2=\sum _{i=1}^3\frac{(g_i-\bar{g}{)}^2}{{\sigma }_i^2}$$ を計算する。データの個数を $N=3$ として、${\chi }^2/(N-1)>1$ ならば、各測定の不確かさが過小評価されているとみなし、${\sigma }_{\bar{g}}$ に $\sqrt{{\chi }^2/(N-1)}$ を掛けたものを最終的な標準不確かさとする（${\chi }^2/(N-1)\le 1$ ならば ${\sigma }_{\bar{g}}$ をそのまま用いる）。

この手順で得られる最終的な標準不確かさを、単位を $m/{\mathrm{s}}^2$ として、根号を用いた正確な値で求めよ。