確率・統計の問題

方針 観測値が得られる確率を $\lambda$ の関数（尤度関数）$L(\lambda )$ とみて、これを最大にする $\lambda$ を求める。積のままでは微分しにくいので、対数をとった対数尤度 $\ell (\lambda )=\log L(\lambda )$ を最大にする（$\log$ は増加関数なので、最大になる $\lambda$ は同じ）。

手順 1：尤度関数を書く 観測は互いに独立なので、7 つの観測値が同時に得られる確率は各確率の積になる。
$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^7\frac{{\lambda }^{x_i}{e}^{-\lambda }}{x_i!}=\frac{{\lambda }^{x_1+\cdots +x_7}{e}^{-7\lambda }}{x_1!\cdots x_7!}.$$
ここで $x_1+\cdots +x_7=3+1+0+2+4+1+2=13$ であり、$C=3!1!0!2!4!1!2!$ とおくと
$$L(\lambda )=\frac{{\lambda }^{13}{e}^{-7\lambda }}{C}.$$

手順 2：対数尤度にする
$$\ell (\lambda )=\log L(\lambda )=13\log \lambda -7\lambda -\log C.$$
$\log C$ は $\lambda$ を含まない定数である。

手順 3：微分して 0 とおく
$${\ell }^{\prime }(\lambda )=\frac{13}{\lambda }-7.$$
${\ell }^{\prime }(\lambda )=0$ とすると $\lambda =\frac{13}{7}$。

手順 4：最大であることを確かめる $0<\lambda <\frac{13}{7}$ では ${\ell }^{\prime }(\lambda )>0$、$\lambda >\frac{13}{7}$ では ${\ell }^{\prime }(\lambda )<0$ なので、$\ell (\lambda )$ は $\lambda =\frac{13}{7}$ で増加から減少に変わり、ここで最大となる。

よって最尤推定値は $\lambda =\frac{13}{7}$（観測値の平均に一致する）。

尤度は $L(\lambda )={\prod }_{i=1}^7\frac{{\lambda }^{x_i}{e}^{-\lambda }}{x_i!}$ で、対数尤度は $\ell (\lambda )=\left(\sum x_i\right)\log \lambda -7\lambda -\sum \log x_i!$ となる。
観測値の合計は $3+1+0+2+4+1+2=13$ である。
微分すると ${\ell }^{\prime }(\lambda )=\frac{13}{\lambda }-7=0$ より $\lambda =\frac{13}{7}$ を得る。
${\ell }^{\prime \prime }(\lambda )=-\frac{13}{{\lambda }^2}<0$ であるから、これは最大値を与える。
検算として、標本平均 $13/7$ はポアソン分布の最尤推定量であり、$\lambda <13/7$ では ${\ell }^{\prime }>0$、$\lambda >13/7$ では ${\ell }^{\prime }<0$ となることとも一致する。
よって最尤推定値は $\frac{13}{7}$ である。