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データの分析の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学I データの分析

$1$ から $9$ までの整数を $1$ 回ずつ並べた列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}$ が、すべての $i = 1, 2, \dots, 9$ について $a_{i} \neq = i$ を満たしている。 $2$ つの変量 $x, y$ の $9$ 個のデータの組を
$(x_{i}, y_{i}) = (i, a_{i}) (i = 1, 2, \dots, 9)$
とするとき、 $x$ と $y$ の相関係数として考えられる値の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

分散と標準偏差（説明と入口の問題）
共分散と相関係数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（5 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$x$ と $y$ は同じ値 $1, \dots, 9$ の並べ替えなので、平均値も分散も等しくなります。相関係数を、各組の差 $a_{i} - i$ を使って表せないか考えましょう。

ヒント 2

$D = \sum (a_{i} - i)^{2}$ とおくと $\sum x_{i} y_{i} = 285 - \frac{D}{2}$ となり、 $r = 1 - \frac{D}{120}$ と書けます。あとは $D$ の最小値を求める問題です。

ヒント 3

$d_{i} = a_{i} - i$ は $0$ でない整数で、 $\sum d_{i} = 0$ です。 $d_{i}^{2}$ と $d_{i}$ の偶奇が等しいことから $D$ は偶数です。また $d_{i}$ がすべて $\pm 1$ だと $\sum d_{i}$ が奇数になってしまうことに注目しましょう。

答えと解説

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\frac{9}{10}

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解説を読む

1. 相関係数を「ずれの $2$ 乗和」で表す

$y_{1}, \dots, y_{9}$ は $1, 2, \dots, 9$ を並べ替えたものなので、 $x$ と $y$ は値の集まりが同じである。よって平均値はともに $x = y = 5$ 、また
$i = 1 \sum 9 x_{i}^{2} = i = 1 \sum 9 y_{i}^{2} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + 9^{2} = 285$
であり、分散はともに
$s_{x}^{2} = s_{y}^{2} = \frac{285}{9} - 5^{2} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$
である。

ここで $D = i = 1 \sum 9 (x_{i} - y_{i})^{2} = i = 1 \sum 9 (a_{i} - i)^{2}$ とおくと
$D = \sum x_{i}^{2} + \sum y_{i}^{2} - 2 \sum x_{i} y_{i} = 570 - 2 \sum x_{i} y_{i}$
より $\sum x_{i} y_{i} = 285 - \frac{D}{2}$ 。したがって共分散は
$s_{x y} = \frac{1}{9} \sum x_{i} y_{i} - x y = \frac{1}{9} (285 - \frac{D}{2}) - 25 = \frac{60}{9} - \frac{D}{18}$
となり、相関係数は
$r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{\frac{20}{3} - \frac{D}{18}}{\frac{20}{3}} = 1 - \frac{D}{120}$
である。よって $r$ を最大にするには $D$ を最小にすればよい。

2. $D$ の最小値（偶奇に注目する）

$d_{i} = a_{i} - i$ とおく。 $d_{i}$ は整数で、条件 $a_{i} \neq = i$ より $d_{i} \neq = 0$ 、また $i = 1 \sum 9 d_{i} = \sum a_{i} - \sum i = 0$ である。

$d_{i} \neq = 0$ より $∣ d_{i} ∣ ≧ 1$ で、 $d_{i}^{2} ≧ ∣ d_{i} ∣$ 。
$d_{i}^{2} - d_{i} = d_{i} (d_{i} - 1)$ は連続する $2$ 整数の積なので偶数。よって $D = \sum d_{i}^{2}$ と $\sum d_{i} = 0$ の偶奇は一致し、 $D$ は偶数である。
もしすべての $i$ で $∣ d_{i} ∣ = 1$ なら、 $\sum d_{i}$ は奇数 $9$ 個の和なので奇数となり、 $\sum d_{i} = 0$ に反する。よって $∣ d_{k} ∣ ≧ 2$ となる $k$ があり、その項では $d_{k}^{2} ≧ 2∣ d_{k} ∣ ≧ ∣ d_{k} ∣ + 2$ である。

したがって
$D = \sum d_{i}^{2} ≧ \sum ∣ d_{i} ∣ + 2 ≧ 9 + 2 = 11$
であり、 $D$ は偶数だから $D ≧ 12$ 。

3. $D = 12$ の例

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}) = (2, 3, 1, 5, 4, 7, 6, 9, 8)$
とすると、すべての $i$ で $a_{i} \neq = i$ であり、 $d_{i} = a_{i} - i$ は $1, 1, - 2, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1$ なので
$D = 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12$
となる。

4. 結論

$D$ の最小値は $12$ であり、相関係数の最大値は
$r = 1 - \frac{12}{120} = \frac{9}{10}$
である。

別解

$x$ のデータは $1, \dots, 9$ 、 $y$ のデータはその並べかえなので、平均はともに $5$ 、 $\sum (x_{i} - 5)^{2} = \sum (y_{i} - 5)^{2} = 60$ 。よって相関係数は $r = \frac{\sum ( i - 5 ) ( a _{i} - 5 )}{60} = \frac{\sum i a _{i} - 9 \cdot 25}{60}$ 。

一方 $\sum (a_{i} - i)^{2} = 2 \sum i^{2} - 2 \sum i a_{i} = 570 - 2 \sum i a_{i}$ なので $\sum i a_{i} = 285 - \frac{1}{2} S$ （ $S = \sum (a_{i} - i)^{2}$ ）。したがって $r = \frac{285 - S /2 - 225}{60} = 1 - \frac{S}{120}$ 。 $r$ を最大にするには $S$ を最小にすればよい。

$d_{i} = a_{i} - i$ とおくと、 $d_{i}$ は整数で $d_{i} \neq = 0$ 、 $\sum d_{i} = 0$ 。 $S = \sum d_{i}^{2} \equiv \sum d_{i} = 0 (mod 2)$ より $S$ は偶数。また $∣ d_{i} ∣ \geq 1$ より $S \geq 9$ なので $S \geq 10$ 。 $S = 10$ とすると、9 個の $d_{i}^{2}$ はすべて 1 以上の平方数で和が 10 だから、8 個が 1 で 1 個が 2 となるが 2 は平方数でないので不可能。よって $S \geq 11$ 、偶数より $S \geq 12$ 。

$S = 12$ は実現できる。 $(a_{1}, \dots, a_{9}) = (2, 3, 1, 5, 4, 7, 6, 9, 8)$ とすると、 $a_{i} \neq = i$ をすべて満たし、 $d = (1, 1, - 2, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1)$ 、 $S = 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12$ 。

以上より最大の相関係数は $1 - \frac{12}{120} = \frac{9}{10}$ 。

検算: $\sum i a_{i} = 2 + 6 + 3 + 20 + 20 + 42 + 42 + 72 + 72 = 279$ 。 $\sum i a_{i} - 225 = 54$ 、 $54/60 = 0.9$ 。

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