データの分析の問題

データを $x_1,x_2,\dots ,x_{20}$、平均値を $m$、分散を $s^2$ とする。

1. 分散を「任意の $c$ からのずれ」で評価する

実数 $c$ に対して、$\sum _{i=1}^{20}(x_i-m)=0$ であるから
$$\sum _{i=1}^{20}(x_i-c{)}^2=\sum _{i=1}^{20}\{(x_i-m)+(m-c){\}}^2=\sum _{i=1}^{20}(x_i-m{)}^2+20(m-c{)}^2$$
となる。特に $c=m$ のとき $20s^2=\sum _{i=1}^{20}(x_i-m{)}^2$ である。

2. 鍵となる評価

実数 $c$ を固定し、すべての整数 $k$ について値 $(k-c{)}^2$ を $3$ 個ずつ並べた数の集まりを考える。どの整数も $x_i$ の中に $3$ 個以下しか現れないので、$(x_1-c{)}^2,\dots ,(x_{20}-c{)}^2$ はこの集まりから $20$ 個を選んだものである。よって、この集まりの小さい方から $20$ 個の和を $g(c)$ とすると
$$\sum _{i=1}^{20}(x_i-c{)}^2\geqq g(c)(1)$$
が成り立つ。$(1)$ で $c=m$ とすると $20s^2\geqq g(m)$ である。したがって、すべての実数 $c$ について $g(c)$ の下限を調べればよい。

3. $g(c)$ の計算

$c$ を $c+1$ に変えても、整数 $k$ を $k+1$ に対応させれば集まりは変わらないので $g(c+1)=g(c)$。また $k$ を $-k$ に対応させれば $g(-c)=g(c)$。任意の実数は「整数 $\pm t$（$0\leqq t\leqq \frac{1}{2}$）」と書けるので、$0\leqq c\leqq \frac{1}{2}$ の場合を考えれば十分である。

$0\leqq c\leqq \frac{1}{2}$ のとき、整数と $c$ との距離は
$$|0-c|=c,|1-c|=1-c,|-1-c|=1+c,|2-c|=2-c,|-2-c|=2+c,|3-c|=3-c,|-3-c|=3+c,\dots$$
で、$c\leqq 1-c\leqq 1+c\leqq 2-c\leqq 2+c\leqq 3-c\leqq 3+c\leqq \cdots$（$c\leqq \frac{1}{2}$ より $1+c\leqq 2-c$ など）となり、ほかの整数はもっと遠い。よって小さい方から $20$ 個は、$k=0,1,-1,2,-2,3$ の値を $3$ 個ずつ（計 $18$ 個）と、$k=-3$ の値を $2$ 個である。
$$c^2+(1-c{)}^2+(1+c{)}^2+(2-c{)}^2+(2+c{)}^2+(3-c{)}^2=6c^2-6c+19$$
であるから
$$g(c)=3(6c^2-6c+19)+2(3+c{)}^2=18c^2-18c+57+2c^2+12c+18=20c^2-6c+75$$
$$=20{\left(c-\frac{3}{20}\right)}^2+75-\frac{9}{20}=20{\left(c-\frac{3}{20}\right)}^2+\frac{1491}{20}.$$
よって $0\leqq c\leqq \frac{1}{2}$ で $g(c)\geqq \frac{1491}{20}$ であり、周期性と対称性からすべての実数 $c$ で $g(c)\geqq \frac{1491}{20}$ が成り立つ。

したがって $20s^2\geqq g(m)\geqq \frac{1491}{20}$、すなわち $s^2\geqq \frac{1491}{400}$。

4. 等号が成り立つ例

$g(c)$ が最小になる $c=\frac{3}{20}$ に対する $20$ 個を実際にデータとする。すなわち
$$-3,-3,-2,-2,-2,-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3$$
（どの整数も $3$ 個以下）とすると、合計は $3\cdot 3-2\cdot 3=3$ なので平均値は $m=\frac{3}{20}$ である。このとき $20s^2=\sum (x_i-m{)}^2=g\left(\frac{3}{20}\right)=\frac{1491}{20}$ となり、$s^2=\frac{1491}{400}$ が実現する。

（確認：$\sum x_i^2=2\cdot 9+3(4+1+0+1+4+9)=75$ より $s^2=\frac{75}{20}-{\left(\frac{3}{20}\right)}^2=\frac{1500-9}{400}=\frac{1491}{400}$。）

なお、$0$ から $7$ までを $1,3,3,3,3,3,3,1$ 個ずつ並べた左右対称なデータの分散は $\frac{77}{20}=\frac{1540}{400}$ で、これより大きい。

以上より、分散の最小値は $\frac{1491}{400}$ である。

各整数は高々 3 個なので、20 個のデータには少なくとも 7 種類の整数が現れる（$3\times 6=18<20$）。分散を小さくするには、データをできるだけ平均の近くに集めればよいので、連続する 7 つの整数 $-3,-2,\dots ,3$（平行移動しても分散は変わらない）を使い、各 3 個ずつ（計 21 個）から 1 個減らした構成を考える。

減らす値を $c$（$-3\le c\le 3$）とすると、$c$ だけ 2 個、他は 3 個ずつである。
$\sum x_i=3\cdot 0-c=-c$、$\sum x_i^2=3\cdot (9+4+1+0+1+4+9)-c^2=84-c^2$。
分散 $=\frac{84-c^2}{20}-{\left(\frac{c}{20}\right)}^2=\frac{1680-21c^2}{400}$。
これは $c^2$ が最大、すなわち $c=\pm 3$ のとき最小で、$\frac{1680-189}{400}=\frac{1491}{400}$。

（他の構成、たとえば 8 種類以上の値を使う場合や連続しない整数を使う場合は、データがより広がるため分散は大きくなる。具体的には、最小の分散を与えるには、平均に近い 5 つの値 $-2,\dots ,2$ を 3 個ずつ（15 個）とり、残りの 5 個を平均の近くの整数に置くが、各値は 3 個までなので $\pm 3$ の側に 3 個と反対側に 2 個を置くのが最善であり、上記と一致する。）

検算: $c=3$ のとき、データは $-3,-2,-1,0,1,2$ が各 3 個、$3$ が 2 個。和 $=-9-6-3+0+3+6+6=-3$、平均 $-0.15$。2 乗和 $=27+12+3+0+3+12+18=75$。分散 $=75/20-0.0225=3.75-0.0225=3.7275=1491/400$。