データの分析の問題

平均値が $\frac{18}{5}$ なので $x_1+x_2+\cdots +x_5=18$ である。分散 $s^2$ は
$$s^2=\frac{1}{5}\sum _{i=1}^5{x}_i^2-{\left(\frac{18}{5}\right)}^2$$
であり、平均値は一定なので、$S=\sum x_i^2$ が最大のとき分散・標準偏差も最大となる。

値を「両端に寄せる」操作

データの中に、$0<a\leqq b<10$ を満たす $2$ つの値 $a,b$ があるとする。$\epsilon =\min (a,10-b)>0$ として、$a,b$ をそれぞれ $a-\epsilon ,b+\epsilon$ に置き換える。このとき和は変わらず、値は $0$ 以上 $10$ 以下のままであり、
$$(a-\epsilon {)}^2+(b+\epsilon {)}^2-(a^2+b^2)=2\epsilon (b-a)+2{\epsilon }^2>0$$
なので $S$ は増加する。また、置き換え後は $a-\epsilon =0$ または $b+\epsilon =10$ となるので、$0$ より大きく $10$ より小さい値の個数は $1$ つ以上減る。

この操作を繰り返すと、高々 $4$ 回で「$0$ より大きく $10$ より小さい値が高々 $1$ 個」のデータになり、その間 $S$ は減らない。

最終的な形

このデータでは $0$ と $10$ 以外の値は高々 $1$ 個なので、データは「$10$ が $k$ 個、値 $r$ $(0\leqq r<10)$ が $1$ 個、残りが $0$」と表せる（$0$ と $10$ 以外の値がないときは $r=0$ とする）。和が $18$ なので
$$10k+r=18,0\leqq r<10$$
より $k=1,r=8$ である。よって最終的なデータは $10,8,0,0,0$（の並べ替え）に限られ、
$$S\leqq 10^2+8^2=164$$
等号はデータが $10,8,0,0,0$（の並べ替え）のとき成り立つ。

最大値

$$s^2\leqq \frac{164}{5}-\frac{324}{25}=\frac{820-324}{25}=\frac{496}{25}$$
よって標準偏差の最大値は
$$\sqrt{\frac{496}{25}}=\frac{\sqrt{496}}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

平均値が $\frac{18}{5}$ なので $\sum x_i=18$。分散は $\frac{1}{5}\sum x_i^2-{\left(\frac{18}{5}\right)}^2$ であるから、$\sum x_i^2$ を最大にすればよい。

$x\mapsto x^2$ は凸関数なので、$\sum x_i=18$, $0\leqq x_i\leqq 10$ の下での $\sum x_i^2$ の最大は実行可能領域の頂点（高々 1 個を除いて各 $x_i$ が $0$ か $10$）で達成される。

具体的に、$x_i\le 10$ より $x_i^2\le 10x_i$ であるが、これだけでは不十分なので次のように示す。2 つの値 $p\le q$ が共に $0$ と $10$ の間の内側にあるとき、$p-t,q+t$ に動かして和を保つと $(p-t{)}^2+(q+t{)}^2$ は $t>0$ で増えるので、$p=0$ か $q=10$ になるまで動かせる。よって最大では、内側にある値は高々 1 個である。

$10$ の個数を $k$ とする。$k\ge 2$ だと和が $20>18$ で不可。
- $k=1$: 残り 4 個の和は $8$。内側の値は高々 1 個なので、残りは $8,0,0,0$。$\sum x_i^2=100+64=164$。
- $k=0$: 全て $10$ 未満で内側の値は高々 1 個、残りは $0$ なので和が $18$ にならず不可（1 個の値が $18>10$）。

したがって $\sum x_i^2$ の最大値は $164$（データ $10,8,0,0,0$）。

分散の最大値 $=\frac{164}{5}-\frac{324}{25}=\frac{820-324}{25}=\frac{496}{25}$。

標準偏差の最大値 $=\sqrt{\frac{496}{25}}=\frac{4\sqrt{31}}{5}$。

検算: データ $10,8,0,0,0$ は和 $18$、平均 $\frac{18}{5}=3.6$。偏差は $6.4,4.4,-3.6,-3.6,-3.6$、2 乗は $40.96+19.36+12.96\times 3=99.2$、平均して $19.84=\frac{496}{25}$ で一致。