データの分析の問題

データを小さい順に並べて $a_1\le a_2\le \cdots \le a_9$ とする。

平均値が $10$ なので $a_1+a_2+\cdots +a_9=90$ である。データは 9 個なので、中央値は $a_5$ であり、$a_5=10$ となる。したがって $a_1,\dots ,a_4\le 10$ である。

$a_9=10$ のときは最大値が $10$ なので、以下では $a_9>10$ の場合を考える。このとき
$$a_9=90-(a_1+a_2+\cdots +a_8)$$
なので、$S=a_1+\cdots +a_8$ をできるだけ小さくすればよい。$a_9\ne 10$ であるから、$10$ はすべて $a_1,\dots ,a_8$ の中にある。$10$ の個数を $k$ とし、$k$ で場合分けする。

$10$ 未満の値は $a_1,\dots ,a_4$ の中にしかないので、$a_1,\dots ,a_8$ のうち $10$ 以外の値のなかで $10$ 未満のものは高々 $4$ 個である。残りは $11$ 以上である。

(i) $k=1$ のとき
ほかの値はすべて $0$ 回しか現れてはならない。しかし $10$ 以外のデータが 8 個あるので不可能である。

(ii) $k=2$ のとき
$10$ 以外の 6 個の値はどれも 1 回ずつしか現れない。つまり互いに異なる。そのうち $10$ 未満は高々 4 個なので、少なくとも 2 個は $11$ 以上である。よって
$$S\ge 2\cdot 10+(1+2+3+4)+(11+12)=53$$
となり、$a_9\le 37$ である。

(iii) $k=3$ のとき
$10$ 以外の 5 個の値は、同じ値が高々 2 回までしか現れない。そのうち $10$ 未満は高々 4 個なので、少なくとも 1 個は $11$ 以上である。よって
$$S\ge 3\cdot 10+(1+1+2+2)+11=47$$
となり、$a_9\le 43$ である。

(iv) $k=4$ のとき
$10$ 以外の 4 個の値は正の整数で、同じ値が高々 3 回までしか現れない。4 個がすべて $1$ になることはできないので、その和は最小でも $1+1+1+2=5$ である。よって
$$S\ge 4\cdot 10+5=45$$
となり、$a_9\le 45$ である。

(v) $k\ge 5$ のとき
$a_1,\dots ,a_8$ のうち少なくとも 5 個が $10$ で、残りは $1$ 以上である。よって
$$S\ge 5\cdot 10+3\cdot 1=53$$
となり、$a_9\le 37$ である。

以上より、どの場合も $a_9\le 45$ である。

逆に、データ
$$1,1,1,2,10,10,10,10,45$$
を考える。和は $5+40+45=90$ なので平均値は $10$ である。中央値（5 番目の値）は $10$ である。$10$ は 4 回、$1$ は 3 回、ほかの値は 1 回ずつ現れるので、最頻値はただ 1 つで $10$ である。よって 3 つの条件をすべて満たし、最大値は $45$ となる。

したがって、求める値は $45$ である。

データを小さい順に $a_1\le \cdots \le a_9$ とする。合計は $90$、中央値より $a_5=10$ である。最大値 $a_9$ を大きくするには、ほかの 8 個の合計をできるだけ小さくすればよい。

10 の個数を $k$ とする。最頻値が 10 だけなので、$k\ge 2$ であり、10 以外の値は各々高々 $k-1$ 個しか現れない。

• $k=2$: 10 以外の値はすべて異なる。$a_5=a_6=10$ とすると、$a_1\sim a_4$ は $1,2,3,4$、$a_7,a_8$ は $11,12$ が最小で、$a_9=90-10-20-23=37$。
• $k=3$: $a_5=a_6=a_7=10$ とすると、$a_1\sim a_4$ は $1,1,2,2$、$a_8=11$ が最小で、$a_9=90-6-30-11=43$。
• $k=4$: $a_5\sim a_8=10$ とすると、$a_1\sim a_4$ は各値が 3 個以下なので $1,1,1,2$ が最小で、$a_9=90-5-40=45$。
• $k\ge 5$: 10 が 5 個以上あると、10 以外の 4 個以下のうち 10 より大きいものは多くても 1 個である。10 が $a_4\sim a_8$ なら $a_1\sim a_3=1,1,1$ で $a_9=90-3-50=37$。10 が $a_5\sim a_9$ なら最大値は 10。いずれも 45 より小さい。

よって最大は $45$。

検算: データ $1,1,1,2,10,10,10,10,45$ は、合計 $5+40+45=90$ で平均 $10$、中央値（5 番目）は $10$、10 が 4 個で 1 が 3 個より多く、最頻値は 10 のみ。条件をすべて満たす。