平均・分散の条件から未知の値を決める

未知の値 $a, b$ を含むデータについて、平均値と分散の条件から $a + b$ と $a^{2} + b^{2}$ の連立方程式を立てて $a, b$ を求められる

前提

分散と標準偏差（数学I データの分析）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

この技能までの道筋（30 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

平均と合計（算数いろいろな文章題）
平均値・中央値・最頻値（中学数学データの活用）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（数学I データの分析）
分散と標準偏差（数学I データの分析）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

説明

データの中に値のわからない 2 つの数 $a, b$ が含まれていても、平均値と分散がわかっていれば $a, b$ を決められます。平均値の条件から $a + b$ 、分散の条件から $a^{2} + b^{2}$ がわかります。そこから $ab$ を求め、2 次方程式を解いて $a, b$ を求めます。テストの点数の一部が欠けている問題などで使います。

なぜそうしてよいのか

$n$ 個のデータ $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ の平均値を $x ˉ$ 、分散を $s^{2}$ とします。平均値は「合計 $\div n$ 」なので、合計 $= n x ˉ$ です。未知数 $a, b$ はこの合計の中に 1 回ずつ入っているので、 $a + b$ の値がわかります。分散については公式 $s^{2} = x^{2} - (x ˉ)^{2}$ を変形すると $x^{2} = s^{2} + (x ˉ)^{2}$ となり、2 乗の合計 $= n {s^{2} + (x ˉ)^{2}}$ です。2 乗の合計には $a^{2}, b^{2}$ が入っているので、 $a^{2} + b^{2}$ の値がわかります。

$a + b$ と $a^{2} + b^{2}$ がわかれば、対称式の関係 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ から $ab = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} )}{2}$ が求まります。さらに $(t - a) (t - b) = t^{2} - (a + b) t + ab$ なので、 $a, b$ は $t$ の 2 次方程式 $t^{2} - (a + b) t + ab = 0$ の 2 つの解です。この方程式を解けば $a, b$ が求まります。

なお、 $a$ と $b$ を入れかえても条件は変わりません。そのため、問題に $a < b$ などの条件があれば、それを使ってどちらが $a$ かを決めます。また、この 2 次方程式の判別式が負になる場合は、条件を満たす実数 $a, b$ は存在しません。

手順

平均値の条件から合計を求め、既知の値を引いて $a + b$ を求める： $a + b = n x ˉ - (既知の値の和)$
分散の公式から 2 乗の平均を求める： $x^{2} = s^{2} + (x ˉ)^{2}$
2 乗の合計 $n x^{2}$ から既知の値の 2 乗の和を引いて $a^{2} + b^{2}$ を求める
対称式の関係から $ab$ を求める： $ab = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} )}{2}$
2 次方程式 $t^{2} - (a + b) t + ab = 0$ を解き、 $a < b$ などの条件から $a, b$ を決める

例題

5 個のデータ $4, 6, 8, a, b$ の平均値が $6$ 、分散が $8$ である。 $a < b$ のとき、 $a, b$ の値を求めよ。答えは $(a, b)$ の組で答えよ。

例題の解答

【手順1】合計は $5 \times 6 = 30$ なので、 $4 + 6 + 8 + a + b = 30$ より $a + b = 12$ である。
【手順2】 $x^{2} = s^{2} + (x ˉ)^{2} = 8 + 6^{2} = 44$ である。
【手順3】2 乗の合計は $5 \times 44 = 220$ である。既知の値の 2 乗の和は $4^{2} + 6^{2} + 8^{2} = 16 + 36 + 64 = 116$ なので、 $a^{2} + b^{2} = 220 - 116 = 104$ である。
【手順4】 $ab = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} )}{2} = \frac{144 - 104}{2} = 20$ である。
【手順5】 $a, b$ は $t^{2} - 12 t + 20 = 0$ の解である。左辺を因数分解すると $(t - 2) (t - 10) = 0$ となるので、 $t = 2, 10$ である。 $a < b$ より $a = 2, b = 10$ である。
（確かめ）データ $4, 6, 8, 2, 10$ の偏差は $- 2, 0, 2, - 4, 4$ である。偏差の 2 乗の和は $4 + 0 + 4 + 16 + 16 = 40$ なので、分散は $40 \div 5 = 8$ となり、条件と一致する。

答え: $(2, 10)$

よくある誤り

分散 $s^{2}$ をそのまま 2 乗の平均 $x^{2}$ と取り違える誤り。例題で $x^{2} = 8$ としてしまうなど。正しくは $x^{2} = s^{2} + (x ˉ)^{2} = 8 + 36 = 44$ である。
2 乗の平均 $x^{2}$ に個数 $n$ を掛けずに既知の値を引いてしまう誤り。例題で $a^{2} + b^{2} = 44 - 116$ とするなど。正しくは 2 乗の合計 $5 \times 44 = 220$ から引いて、 $a^{2} + b^{2} = 104$ である。
$ab$ を求めるときに 2 で割り忘れる誤り。例題で $ab = 144 - 104 = 40$ とするなど。正しくは $(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 2 ab$ なので $ab = 20$ である。
2 次方程式の 2 つの解のどちらを $a$ にするかを確かめない誤り。 $t = 2, 10$ を見て $a = 10, b = 2$ と答えるなど。正しくは条件 $a < b$ を使って $a = 2, b = 10$ と決める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
5 人の生徒に 2 種類の小テストを行い、それぞれの得点を変量 $x$ , $y$ として次の表にまとめた。ただし、 $a$ , $b$ は $a < b$ を満たす実数である。
生徒 1 2 3 4 5
$x$ $1$ $3$ $5$ $7$ $9$
$y$ $2$ $a$ $b$ $5$ $9$
変量 $y$ の平均値は $6$ 、分散は $6$ である。このとき、 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。ただし、分散と共分散は、偏差の 2 乗の和や偏差の積の和をデータの個数 $5$ で割ったものとする。

生徒	1	2	3	4	5
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$y$	$2$	$a$	$b$	$5$	$9$

この技能の次に学べること

分散の最大・最小（数学I データの分析）