データの分析の問題

手順 1：平均値の条件から $a+b$ を求める。

平均値が $5$ なので、データの合計は $5\times 5=25$ である。
$$2+5+6+a+b=25$$
より
$$a+b=12(1)$$

手順 2：分散の条件から $a^2+b^2$ を求める。

分散は「2 乗の平均値 − 平均値の 2 乗」で求められるので、2 乗の平均値を $\overline{x^2}$ とすると
$$\overline{x^2}-5^2=4$$
よって $\overline{x^2}=29$ であり、2 乗の合計は $29\times 5=145$ である。
$$2^2+5^2+6^2+a^2+b^2=145$$
$$4+25+36+a^2+b^2=145$$
より
$$a^2+b^2=80(2)$$

手順 3：連立方程式 $(1)$, $(2)$ を解く。

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ に $(1)$, $(2)$ を代入すると
$$80=12^2-2ab$$
より $2ab=64$、すなわち $ab=32$ である。

$a+b=12$, $ab=32$ なので、$a$, $b$ は 2 次方程式 $t^2-12t+32=0$ の 2 つの解である。
$$t^2-12t+32=(t-4)(t-8)=0$$
より $t=4,8$。

$a<b$ なので $a=4$, $b=8$ である。

確認： データは $2,5,6,4,8$ で、合計 $25$、平均値 $5$。偏差は $-3,0,1,-1,3$ で、偏差の 2 乗の合計は $9+0+1+1+9=20$、分散は $20÷5=4$ となり、条件を満たす。

よって $b=8$ である。

平均値が $5$ なので、$(2+5+6+a+b)/5=5$ より $a+b=12$。
分散が $4$ なので、(2乗の平均)$-$(平均の2乗)$=4$ より、$(2^2+5^2+6^2+a^2+b^2)/5-5^2=4$。よって $65+a^2+b^2=145$ となり、$a^2+b^2=80$。
このとき $ab=\frac{(a+b{)}^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{144-80}{2}=32$。
$a,b$ は $t^2-12t+32=0$ の解で、$(t-4)(t-8)=0$ より $t=4,8$。$a<b$ だから $a=4,b=8$。
検算: データ $2,5,6,4,8$ の平均は $25/5=5$。偏差は $-3,0,1,-1,3$ で、2乗の和は $9+0+1+1+9=20$、分散は $20/5=4$ となり条件を満たす。