データの分析の問題

分散は「(2 乗の平均値) $-$ (平均値の 2 乗)」で求められます。この関係を使って、各グループの「2 乗の和」を求めます。

グループ A　分散は $2^2=4$ です。2 乗の平均値を $m_A$ とすると
$$4=m_A-15^2\text{より}{m}_A=4+225=229$$
よって、2 乗の和は $6\times 229=1374$ です。また、値の和は $6\times 15=90$ です。

グループ B　分散は $3^2=9$ です。2 乗の平均値を $m_B$ とすると
$$9=m_B-20^2\text{より}{m}_B=9+400=409$$
よって、2 乗の和は $4\times 409=1636$ です。また、値の和は $4\times 20=80$ です。

全体　平均値は
$$\frac{90+80}{10}=17$$
2 乗の平均値は
$$\frac{1374+1636}{10}=\frac{3010}{10}=301$$
したがって、全体の分散は
$$301-17^2=301-289=12$$
となり、標準偏差は
$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$
です。

（確認）全体の分散は「各グループ内の分散の加重平均」と「各グループの平均値の散らばり」の和にも分けられます。
- グループ内の分散の加重平均: $\frac{6\cdot 4+4\cdot 9}{10}=6$
- 平均値の散らばり: $\frac{6(15-17{)}^2+4(20-17{)}^2}{10}=\frac{24+36}{10}=6$

合計は $6+6=12$ となり、上の結果と一致します。

全体の平均値は $(6\cdot 15+4\cdot 20)/10=(90+80)/10=17$。
各グループの分散は A が $2^2=4$、B が $3^2=9$。
分散は $(\text{データの2乗の平均})-(\text{平均}{)}^2$ より、各グループの2乗の和は
A: $6(4+15^2)=6\cdot 229=1374$
B: $4(9+20^2)=4\cdot 409=1636$
全体の2乗の和は $1374+1636=3010$、2乗の平均は $301$。
全体の分散は $301-17^2=301-289=12$。
別の方法（分散の分解）：級内分散 $(6\cdot 4+4\cdot 9)/10=60/10=6$、級間分散 $(6\cdot (15-17{)}^2+4\cdot (20-17{)}^2)/10=(24+36)/10=6$。合計 $12$ で一致。
よって標準偏差は $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。