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データの分析の問題

難易度 3共通テストレベル数学I データの分析

$n$ を $2$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの各整数 $k$ を、それぞれちょうど $k$ 個ずつ並べてできるデータ
$1, 2, 2, 3, 3, 3, \dots, n 個 n, n, \dots, n$
を考える（値 $k$ がちょうど $k$ 個含まれ、データの大きさは $1 + 2 + \dots + n$ である）。

このデータの標準偏差が $10$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

この問題で使うもの

分散と標準偏差（説明と入口の問題）
代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

データの大きさ、値の総和、値の $2$ 乗の総和をそれぞれ $\sum$ を使って $n$ の式で表し、分散を「 $2$ 乗の平均値 $-$ 平均値の $2$ 乗」で計算しましょう。

ヒント 2

値 $k$ が $k$ 個あるので、値の総和は $\sum k^{2}$ 、 $2$ 乗の総和は $\sum k^{3}$ になります。平均値は $\frac{2 n + 1}{3}$ 、 $2$ 乗の平均値は $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ です。

ヒント 3

分散は $\frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{18}$ となります。標準偏差 $10$ 以上は分散 $100$ 以上と同じなので、 $(n - 1) (n + 2) ≧ 1800$ を満たす最小の整数 $n$ を調べます。

答えと解説

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42

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解説を読む

データの大きさを $N$ とすると
$N = k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
である。値 $k$ が $k$ 個あるので、値の総和と $2$ 乗の総和は
$k = 1 \sum n k \cdot k = k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 1 \sum n k \cdot k^{2} = k = 1 \sum n k^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}$
となる。

よって平均値 $x$ は
$x = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} \div \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{2 n + 1}{3}$
であり、 $2$ 乗の平均値 $x^{2}$ は
$x^{2} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2} \div \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
である。

したがって、分散 $s^{2}$ は「 $2$ 乗の平均値 $-$ 平均値の $2$ 乗」より
$s^{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2} - \frac{( 2 n + 1 ) ^{2}}{9} = \frac{9 n ^{2} + 9 n - 2 ( 4 n ^{2} + 4 n + 1 )}{18} = \frac{n ^{2} + n - 2}{18} = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{18}$
となる。（確認: $n = 2$ のときデータは $1, 2, 2$ で、分散は $\frac{1 + 4 + 4}{3} - (\frac{5}{3})^{2} = \frac{2}{9}$ であり、式の値 $\frac{1 \cdot 4}{18} = \frac{2}{9}$ と一致する。）

標準偏差 $s$ は $0$ 以上なので、 $s ≧ 10$ は $s^{2} ≧ 100$ と同値である。すなわち
$\frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{18} ≧ 100 ⟺ (n - 1) (n + 2) ≧ 1800$
$(n - 1) (n + 2)$ は $n ≧ 2$ で $n$ について増加する。
- $n = 41$ のとき $(n - 1) (n + 2) = 40 \cdot 43 = 1720 < 1800$
- $n = 42$ のとき $(n - 1) (n + 2) = 41 \cdot 44 = 1804 ≧ 1800$

よって、条件を満たす最小の $n$ は $42$ である。

別解

データの大きさは $N = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。
平均値: 総和は $\sum_{k = 1}^{n} k \cdot k = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ なので $x ˉ = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} \cdot \frac{2}{n ( n + 1 )} = \frac{2 n + 1}{3}$ 。
2 乗の平均: $\sum_{k = 1}^{n} k \cdot k^{2} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}$ なので $x^{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。
分散: $s^{2} = x^{2} - x ˉ^{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2} - \frac{( 2 n + 1 ) ^{2}}{9} = \frac{9 n ^{2} + 9 n - 2 ( 4 n ^{2} + 4 n + 1 )}{18} = \frac{n ^{2} + n - 2}{18} = \frac{( n + 2 ) ( n - 1 )}{18}$ 。
標準偏差が $10$ 以上 $⟺ s^{2} ≧ 100 ⟺ n^{2} + n ≧ 1802$ 。
$n = 41$ のとき $4 1^{2} + 41 = 1722 < 1802$ で不適。 $n = 42$ のとき $4 2^{2} + 42 = 1806 ≧ 1802$ で適する。 $n^{2} + n$ は $n$ について増加するので、最小は $n = 42$ 。
検算: $n = 2$ のデータ $1, 2, 2$ は平均 $\frac{5}{3}$ 、分散 $\frac{1}{3} (\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}) = \frac{2}{9}$ 。公式は $\frac{4 \cdot 1}{18} = \frac{2}{9}$ で一致。 $n = 42$ のとき $s^{2} = \frac{44 \cdot 41}{18} = \frac{902}{9} \approx 100.2$ 、 $s \approx 10.01$ 。

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